Classifique, encontre e verifique as soluções das equações diferenciais.
\frac{d y}{d x}=\frac{6 x^{2}}{2 y+\cos y}.

Passo 1

Resumo do enunciado: estamos diante da equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{6x^2}{2y + \cos y}.
Trata-se de uma equação explícita e separável, pois podemos agrupar termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por (2y+\cos y)\,dx, o que nos dá
(2y + \cos y)\,dy = 6x^2\,dx.

Passo 3

Integramos cada membro:
\int (2y + \cos y)\,dy = \int 6x^2\,dx.
No lado esquerdo,
\int 2y\,dy = y^2 \quad\text{e}\quad \int \cos y\,dy = \sin y,
logo resulta
y^2 + \sin y.
No lado direito,
\int 6x^2\,dx = 2x^3 + C.
Portanto a solução geral implícita é
y^2 + \sin y = 2x^3 + C.

Passo 4

Verificamos a solução diferenciando implicitamente:
\frac{d}{dx}\bigl(y^2 + \sin y\bigr) = 2y\frac{dy}{dx} + \cos y\frac{dy}{dx} = (2y + \cos y)\,\frac{dy}{dx}
e esse resultado deve ser igual a
\frac{d}{dx}\bigl(2x^3 + C\bigr) = 6x^2.
Isolando \frac{dy}{dx} obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{6x^2}{2y + \cos y},
confirmando que a solução encontrada é de fato correta.

Resposta

y^2 + \sin y = 2x^3 + C.

Exercícios relacionados