Classifique, encontre e verifique as soluções das equações diferenciais.
\frac{d y}{d x}=x^{2} y.

Passo 1

O enunciado pede para classificar, resolver e verificar as soluções da equação diferencial
\frac{dy}{dx} = x^{2}y.
Este é um problema de equação diferencial de primeira ordem, que além de ser linear homogênea (no formato \frac{dy}{dx}-x^2y=0) é também separável. Para resolver, vamos isolar as variáveis y e x e integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis dividindo por y e multiplicando por dx:
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = x^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y} = x^2\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int x^2\,dx.
O lado esquerdo dá \ln|y| e o direito dá \tfrac{x^3}{3}, mais uma constante de integração C:
\ln\lvert y\rvert = \frac{x^3}{3} + C.

Passo 4

Para isolar y, exponenciamos:
\lvert y\rvert = e^{\,\frac{x^3}{3}+C} = e^C\,e^{\,\frac{x^3}{3}}.
Definindo C_1 = \pm e^C, obtemos a solução geral
y(x) = C_1\,e^{\,\frac{x^3}{3}},
onde C_1 é constante arbitrária real. Note também a solução trivial y(x)=0, que corresponde a C_1=0.

Passo 5

Verificamos que, para y(x)=C_1e^{x^3/3},
\frac{dy}{dx} = C_1\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{\,\tfrac{x^3}{3}}\bigr) = C_1\cdot e^{\,\tfrac{x^3}{3}}\cdot x^2 = x^2\,(C_1e^{\,\tfrac{x^3}{3}}) = x^2\,y,
confirmando que a família de curvas encontrada satisfaz a equação original.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C\,e^{\,\frac{x^3}{3}},
com C\in\mathbb{R}.

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