Classifique, encontre e verifique as soluções das equações diferenciais.
\frac{d y}{d x}+4=y^{2} ; y(0)=4.

Passo 1

O enunciado pede para classificar, encontrar e verificar as soluções da EDO de primeira ordem com condição inicial
\frac{dy}{dx} + 4 = y^2,\quad y(0)=4.
Vamos precisar reconhecer o tipo de equação, separar variáveis, usar frações parciais e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Classificação da EDO:
  • É de primeira ordem pois envolve somente dy/dx.
  • É não linear porque aparece y^2.
  • É autônoma, pois o lado direito y^2-4 não depende explicitamente de x.
  • É separável, pois podemos escrever
\frac{dy}{dx} = y^2 - 4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^2-4} = dx.

Passo 3

Antes de separar, encontramos as soluções constantes (equilíbrios) impondo y^2-4=0:
y^2-4=0 \quad\Longrightarrow\quad y=2 \quad\text{ou}\quad y=-2.

Passo 4

Para as soluções não constantes, integramos por separação de variáveis. Decompomos em frações parciais:
\frac{1}{y^2-4} =\frac{1}{(y-2)(y+2)} =\frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y+2}\Bigr).
Logo,
\int \frac{dy}{y^2-4} =\frac{1}{4}\int\Bigl(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y+2}\Bigr)dy =\frac{1}{4}\ln\Bigl|\frac{y-2}{y+2}\Bigr|+C.
Essa integral deve ser igual a \int dx = x + C_1. Fazendo C_1\to C, obtemos
\frac{1}{4}\ln\Bigl|\frac{y-2}{y+2}\Bigr| = x + C \quad\Longrightarrow\quad \ln\Bigl|\frac{y-2}{y+2}\Bigr| = 4x + C_2.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=4. Em x=0:
\ln\Bigl|\frac{4-2}{4+2}\Bigr| =\ln\Bigl(\frac{2}{6}\Bigr) =\ln\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr) = C_2.
Logo
\ln\Bigl|\frac{y-2}{y+2}\Bigr| = 4x + \ln\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \Bigl|\frac{y-2}{y+2}\Bigr| =\frac{1}{3}e^{4x}.
Tomando o sinal positivo (já que em x=0 temos (y-2)/(y+2)=1/3>0),
\frac{y-2}{y+2}=\frac{1}{3}e^{4x}.

Passo 6

Resolvendo para y:
y-2 = \frac{e^{4x}}{3}\,(y+2) \quad\Longrightarrow\quad y\Bigl(1-\tfrac{e^{4x}}{3}\Bigr)=2\Bigl(1+\tfrac{e^{4x}}{3}\Bigr)
\Longrightarrow y(x) =\frac{2\,(3+e^{4x})}{3 - e^{4x}}.
O domínio dessa solução é dado por 3-e^{4x}\neq0, ou seja x\neq \tfrac{1}{4}\ln3.

Passo 7

Verificação rápida:
  1. Calcula-se
    \displaystyle dy/dx=\frac{d}{dx}\bigl[2(3+e^{4x})/(3-e^{4x})\bigr]
    e comprova-se que
    \displaystyle \frac{dy}{dx}+4 = y^2.
  2. Para y=2 e y=-2, tem-se dy/dx=0 e 0+4=4=y^2, logo também satisfazem a EDO.

Resposta

As soluções gerais da EDO são:
y_1(x)=2, \quad y_2(x)=-2, \quad y_3(x)=\frac{2\,(3+e^{4x})}{3 - e^{4x}}.
A única que satisfaz y(0)=4 é
y(x)=\frac{2\,(3+e^{4x})}{3 - e^{4x}}.

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