Classifique, encontre e verifique as soluções das equações diferenciais.
.
Passo 1
O enunciado pede para classificar, encontrar e verificar as soluções da EDO de primeira ordem com condição inicial
Vamos precisar reconhecer o tipo de equação, separar variáveis, usar frações parciais e aplicar a condição inicial.
Passo 2
Classificação da EDO:
- É de primeira ordem pois envolve somente
. - É não linear porque aparece
. - É autônoma, pois o lado direito
não depende explicitamente de . - É separável, pois podemos escrever
Passo 3
Antes de separar, encontramos as soluções constantes (equilíbrios) impondo
:
Passo 4
Para as soluções não constantes, integramos por separação de variáveis. Decompomos em frações parciais:
Logo,
Essa integral deve ser igual a
. Fazendo
, obtemos
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
. Em
:
Logo
Tomando o sinal positivo (já que em
temos
),
Passo 6
Resolvendo para
:
O domínio dessa solução é dado por
, ou seja
.
Passo 7
Verificação rápida:
- Calcula-se
e comprova-se que
- Para
e , tem-se e , logo também satisfazem a EDO.
Resposta
As soluções gerais da EDO são:
A única que satisfaz
é