Classifique, encontre e verifique as soluções das equações diferenciais.
(x-4) y^{4}-x^{3}\left(y^{2}-3\right) \frac{d y}{d x}=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(x-4)\,y^{4}\;-\;x^{3}\,(y^{2}-3)\,\frac{dy}{dx}=0
e pede para classificá-la, encontrar a solução geral e verificar. Essa é uma equação de variáveis separáveis, pois pode ser posta na forma
\frac{dy}{dx} = \frac{(x-4)\,y^{4}}{x^{3}\,(y^{2}-3)}.

Passo 2

Separamos as variáveis x e y escrevendo
\frac{y^{2}-3}{y^{4}}\,dy \;=\;\frac{x-4}{x^{3}}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{y^{2}-3}{y^{4}}\,dy =\int \bigl(y^{-2}-3\,y^{-4}\bigr)\,dy =-\,y^{-1} + y^{-3} + C_{1},
\int \frac{x-4}{x^{3}}\,dx =\int \bigl(x^{-2}-4\,x^{-3}\bigr)\,dx =-\,x^{-1} +2\,x^{-2} + C_{2}.
Igualando as duas primitivas e absorvendo C_{1}-C_{2} em uma única constante C, obtemos
-\,\frac{1}{y} + \frac{1}{y^{3}} \;=\; -\,\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + C.

Passo 4

Reorganizando, a solução implícita geral fica
-\,\frac{1}{y} \;+\;\frac{1}{y^{3}} \;+\;\frac{1}{x} \;-\;\frac{2}{x^{2}} = C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Para verificar, diferenciamos implicitamente essa relação em x:
\frac{d}{dx}\Bigl(-y^{-1}+y^{-3}+x^{-1}-2x^{-2}\Bigr)=0
gera
\bigl(y^{-2}-3y^{-4}\bigr)\,\frac{dy}{dx} \;-\;x^{-2}+4x^{-3}=0.
Multiplicando por x^{3}y^{4}
x^{3}(y^{2}-3)\,\frac{dy}{dx} \;-\;(x-4)\,y^{4}=0,
ou seja
(x-4)\,y^{4}-x^{3}(y^{2}-3)\,\frac{dy}{dx}=0,
que é exatamente a equação original.

Resposta

-\,\frac{1}{y} + \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} = C,
com C constante arbitrária.

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