Classifique, encontre e verifique as soluções das equações diferenciais.
\frac{d y}{d x}=e^{x} y^{2} ; y(2)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx} = e^{x} y^{2},\quad y(2)=1.
Trata-se de uma EDO de primeira ordem, não linear e do tipo separável. Para resolver, vamos separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis y e x:
\frac{1}{y^{2}}\,dy = e^{x}\,dx.
Agora integre ambos os lados:
\int y^{-2}\,dy = \int e^{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{y} = e^{x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Isole y. A partir de
-\,\frac{1}{y} = e^{x} + C
vem
y(x) = -\,\frac{1}{\,e^{x} + C\,}.
Além dessa família não trivial, note que y(x)=0 também é solução (solução trivial), pois satisfaz dy/dx=0=e^{x}\cdot0^{2}.

Passo 4

Impondo a condição y(2)=1, substituímos em -1/y = e^{x}+C:
-\,\frac{1}{1} = e^{2} + C \quad\Longrightarrow\quad C = -1 - e^{2}.
Então a solução particular fica
y(x) = -\,\frac{1}{\,e^{x} - (1+e^{2})\,} = \frac{1}{\,1 + e^{2} - e^{x}\,}.

Passo 5

O denominador não pode zerar:
1 + e^{2} - e^{x} \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad e^{x} \neq 1 + e^{2} \quad\Longrightarrow\quad x \neq \ln\bigl(1+e^{2}\bigr).
Como 2<\ln(1+e^{2}), o máximo intervalo que contém x=2 é
x<\ln\bigl(1+e^{2}\bigr).

Passo 6

Verifique substituindo na EDO:
y(x)=\frac{1}{1+e^{2}-e^{x}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} =\frac{e^{x}}{\bigl(1+e^{2}-e^{x}\bigr)^{2}} =e^{x}\,y^{2},
confirma-se a EDO.

Resposta

  • Classificação: primeira ordem, não linear e separável.
  • Solução geral não trivial: \displaystyle y(x)=-\frac{1}{e^{x}+C}, mais a solução trivial y(x)=0.
  • Solução que satisfaz y(2)=1: y(x)=\frac{1}{\,1+e^{2}-e^{x}\,},\quad x<\ln\bigl(1+e^{2}\bigr).

Exercícios relacionados