Classifique, encontre e verifique as soluções das equações diferenciais.
\frac{d y}{d x}=(x+y-4)^{2}. Dica: faça uma mudança de variável.

Passo 1

O enunciado pede para classificar e resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = (x + y - 4)^{2}.
Esse é um problema de EDO não-linear de primeira ordem. A dica sugere usar uma mudança de variável para simplificar.

Passo 2

Definimos
u = x + y - 4.
Então
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x + y - 4) = 1 + \frac{dy}{dx}.
Como \frac{dy}{dx} = u^{2}, segue
\frac{du}{dx} = 1 + u^{2}.

Passo 3

Agora separamos variáveis na EDO em u:
\frac{du}{1 + u^{2}} = dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{du}{1+u^{2}} = \int dx \quad\Longrightarrow\quad \arctan(u) = x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Resolvendo para u:
u = \tan\bigl(x + C\bigr).
Voltando à variável original, u = x + y - 4, obtemos
x + y - 4 = \tan\bigl(x + C\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y(x) = 4 - x + \tan\bigl(x + C\bigr).

Passo 6

Verificação rápida:
\frac{dy}{dx} = -1 + \operatorname{sec}^{2}\bigl(x + C\bigr) = \tan^{2}\bigl(x + C\bigr)
pois \operatorname{sec}^{2}A - 1 = \tan^{2}A.
Como x+y-4 = \tan(x+C), temos (x+y-4)^{2} = \tan^{2}(x+C), logo
\frac{dy}{dx} = (x+y-4)^{2}, conforme exigido.

Resposta

A classificação é: EDO não-linear de primeira ordem, resolvida por mudança de variável.
A solução geral é
\boxed{y(x) = 4 - x + \tan\bigl(x + C\bigr),}
com C\in\mathbb{R}.

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