Classifique, encontre e verifique as soluções das equações diferenciais.
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}}{y^{2}} ; y(0)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y^2}
com condição inicial y(0)=2. O conteúdo é separação de variáveis: vamos isolar y de um lado e x do outro para integrar.

Passo 2

Separe as variáveis:
y^2\,dy = x^2\,dx.

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int y^2\,dy = \int x^2\,dx
\frac{y^3}{3} = \frac{x^3}{3} + C.

Passo 4

Multiplique por 3 e aplique y(0)=2:
y^3 = x^3 + C_1, \quad 2^3 = 0 + C_1 \implies C_1 = 8.

Passo 5

A solução que satisfaz a condição inicial é
y^3 = x^3 + 8 \quad\Longrightarrow\quad y = \bigl(x^3 + 8\bigr)^{1/3}.

Passo 6

Verifique que satisfaz a EDO. Calculando a derivada de y:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}\bigl(x^3+8\bigr)^{-2/3}\cdot 3x^2 = \frac{x^2}{(x^3+8)^{2/3}} = \frac{x^2}{y^2},
conforme o enunciado.

Passo 7

A EDO exige y\neq0, isto é x^3+8\neq0. Como a condição inicial está em x=0, o intervalo maximal de existência e unicidade local que contém 0 é
(-2,\infty).

Resposta

y(x) = \bigl(x^3 + 8\bigr)^{1/3},\quad x\in(-2,\infty).

Exercícios relacionados