Classifique, encontre e verifique as soluções das equações diferenciais.
x{\prime}=e{t-x}.
x{\prime}=e{t-x}.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
e pede para classificá-la, encontrar sua solução geral e verificar que de fato satisfaz a equação.
Passo 2
Classificamos a equação como:
– de primeira ordem (aparece só );
– não linear (o termo multiplica
);
– não autônoma (o lado direito depende explicitamente de );
– separável (podemos escrever todos os de um lado e todos os
do outro).
– de primeira ordem (aparece só
– não linear (o termo
– não autônoma (o lado direito depende explicitamente de
– separável (podemos escrever todos os
Passo 3
Separamos variáveis. Começamos por reescrever
e passamos tudo que tem
para o lado esquerdo e tudo que tem
para o direito:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolamos
:
Para verificar, derivamos:
logo a solução satisfaz a equação dada.
Resposta
A solução geral é
com
constante arbitrária e domínio definido por
.