Classifique, encontre e verifique as soluções das equações diferenciais.
x{\prime}=e{t-x}.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
x' = e^{t - x}
e pede para classificá-la, encontrar sua solução geral e verificar que de fato satisfaz a equação.

Passo 2

Classificamos a equação como:
– de primeira ordem (aparece só x');
– não linear (o termo e^{-x} multiplica e^t);
– não autônoma (o lado direito depende explicitamente de t);
– separável (podemos escrever todos os x de um lado e todos os t do outro).

Passo 3

Separamos variáveis. Começamos por reescrever
x' = \frac{dx}{dt} = e^t\,e^{-x}
e passamos tudo que tem x para o lado esquerdo e tudo que tem t para o direito:
e^{x}\,dx = e^{t}\,dt.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int e^{x}\,dx = \int e^{t}\,dt \;\Longrightarrow\; e^{x} = e^{t} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos x:
x(t) = \ln\bigl(e^{t} + C\bigr).
Para verificar, derivamos:
x'(t) = \frac{d}{dt}\ln\bigl(e^{t}+C\bigr) = \frac{e^{t}}{e^{t}+C} = e^{t-x(t)},
logo a solução satisfaz a equação dada.

Resposta

A solução geral é
x(t) = \ln\bigl(e^{t} + C\bigr),
com C constante arbitrária e domínio definido por e^{t}+C>0.

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