Seja V=R^{3} e W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) ; x_{3}=1\right\} verifique se W é um subespaço do \mathrm{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado define V=\mathbb{R}^3 e
W = \{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3 \mid x_3 = 1\}.
Queremos verificar se W é subespaço de V. Para isso, lembramos que um subconjunto W de um espaço vetorial deve satisfazer três condições:
  1. conter o vetor zero;
  2. ser fechado sob soma;
  3. ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de \mathbb{R}^3, isto é (0,0,0), pertence a W. Como para todo (x_1,x_2,x_3)\in W temos x_3=1, o vetor (0,0,0) não satisfaz essa condição (pois 0\neq1). Logo,
(0,0,0)\notin W.

Passo 3

Mesmo sem essa falha já bastar para concluir, podemos checar a soma: sejam
u=(x_1,x_2,1)\in W \quad\text{e}\quad v=(y_1,y_2,1)\in W.
Então
u+v = (x_1+y_1,\;x_2+y_2,\;1+1) = (x_1+y_1,\;x_2+y_2,\;2)
e a terceira componente vale 2\neq1, logo u+v\notin W.

Passo 4

Para a multiplicação por escalar, peguemos \lambda\in\mathbb{R} e
u=(x_1,x_2,1)\in W.
Então
\lambda u = (\lambda x_1,\;\lambda x_2,\;\lambda\cdot1) = (\lambda x_1,\;\lambda x_2,\;\lambda),
e a terceira componente é \lambda, que só vale 1 se \lambda=1. Em geral \lambda u\notin W.

Passo 5

Concluímos que W não contém o vetor zero e não é fechado nem sob soma nem sob multiplicação por escalar.

Resposta

W não é subespaço de \mathbb{R}^3.

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