Verifique se os vetores são LD ou LI. Caso sejam LD escrevam um vetor como combinação dos demais
\mathrm{v}_{1}=(1,-3,2), \mathrm{v}_{2}=(2,-4,-1) \mathrm{e} \mathrm{v}_{3}=(3,-8,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
\mathrm{v}_{1}=(1,-3,2), \mathrm{v}_{2}=(2,-4,-1) e \mathrm{v}_{3}=(3,-8,0) em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes (LD) ou independentes (LI). Em \mathbb{R}^3, um critério rápido é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante: se for diferente de zero, eles são LI; se for zero, são LD.

Passo 2

Formamos a matriz
M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ -3 & -4 & -8 \\\\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}
cuja primeira coluna é \mathrm{v}_1, segunda é \mathrm{v}_2 e terceira é \mathrm{v}_3.

Passo 3

Calculamos \det(M) por expansão de Laplace na primeira linha:
\det(M) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-4 & -8\\\ -1 & 0\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & -8\\\ 2 & 0\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & -4\\\ 2 & -1\end{pmatrix}.
Cada menor vale:
\det\begin{pmatrix}-4 & -8\\\ -1 & 0\end{pmatrix} =(-4)\cdot0 -(-8)\cdot(-1) = -8,
\det\begin{pmatrix}-3 & -8\\\ 2 & 0\end{pmatrix} =(-3)\cdot0 -(-8)\cdot2 = 16,
\det\begin{pmatrix}-3 & -4\\\ 2 & -1\end{pmatrix} =(-3)\cdot(-1) -(-4)\cdot2 = 3 + 8 = 11.
Substituindo,
\det(M) = 1\cdot(-8) - 2\cdot(16) + 3\cdot(11) = -8 -32 +33 = -7.

Passo 4

Como \det(M) = -7 \neq 0, concluímos que a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial. Logo, \mathrm{v}_{1},\mathrm{v}_{2},\mathrm{v}_{3} são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes (LI).

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