Classifique, encontre e verifique as soluções das equações diferenciais.
.
Passo 1
O enunciado pede para classificar e resolver a equação diferencial
Trata-se de uma equação de primeira ordem, linear não homogênea, com variável independente
. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro colocamos no “formato padrão”
O fator integrante é
Multiplicando toda a equação por
resulta
que é exatamente o mesmo enunciado, mas agora reconhecemos o lado esquerdo como
Passo 3
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isolando
, obtemos
Passo 4
Para ver a solução em termos de parte homogênea e particular, note que
– A equação homogênea associada é , cuja solução é
– A equação homogênea associada é
– Procuramos uma solução particular polinomial
. Substituindo em
leva a
logo
Somando as duas partes, a solução geral é
válida para
.
Passo 5
Verificação rápida: definindo
calcula-se
e substituindo em
confirma-se que o resultado é
. Assim a família de soluções está correta.
Resposta
A solução geral da equação
é