Classifique, encontre e verifique as soluções das equações diferenciais.
(x+1) \frac{d y}{d x}+y=x(x+1).

Passo 1

O enunciado pede para classificar e resolver a equação diferencial
(x+1)\,\frac{dy}{dx} + y = x(x+1).
Trata-se de uma equação de primeira ordem, linear não homogênea, com variável independente x. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos no “formato padrão”
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x+1}\,y = x.
O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{1}{x+1}\,dx\Bigr) = x+1.
Multiplicando toda a equação por \mu(x) resulta
(x+1)\,\frac{dy}{dx} + y = x(x+1),
que é exatamente o mesmo enunciado, mas agora reconhecemos o lado esquerdo como
\frac{d}{dx}\bigl[(x+1)\,y\bigr].

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl[(x+1)\,y\bigr] = x(x+1) \quad\Longrightarrow\quad (x+1)\,y = \int x(x+1)\,dx = \int (x^2 + x)\,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C.
Isolando y, obtemos
y(x) = \frac{\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C}{x+1}.

Passo 4

Para ver a solução em termos de parte homogênea e particular, note que
– A equação homogênea associada é \frac{dy}{dx} + \tfrac{1}{x+1}y=0, cuja solução é
y_h(x) = \frac{K}{x+1}.
– Procuramos uma solução particular polinomial y_p(x)=Ax^2+Bx+D. Substituindo em \frac{d}{dx}[(x+1)y_p]=x(x+1) leva a
A=\tfrac13,\quad B=\tfrac16,\quad D=-\tfrac16,
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y_p(x)=\frac{x^2}{3}+\frac{x}{6}-\frac{1}{6}.
Somando as duas partes, a solução geral é
y(x)=y_p(x)+y_h(x) =\frac{x^2}{3}+\frac{x}{6}-\frac{1}{6}+\frac{C}{x+1},
válida para x\neq -1.

Passo 5

Verificação rápida: definindo
y(x)=\frac{x^2}{3}+\frac{x}{6}-\frac{1}{6}+\frac{C}{x+1},
calcula-se
\frac{dy}{dx} =\frac{2x}{3}+\frac{1}{6}-\frac{C}{(x+1)^2},
e substituindo em (x+1)\,y'+y confirma-se que o resultado é x(x+1). Assim a família de soluções está correta.

Resposta

A solução geral da equação
(x+1)\,\frac{dy}{dx}+y = x(x+1)
é
\boxed{ y(x) = \frac{x^2}{3} + \frac{x}{6} - \frac{1}{6} + \frac{C}{\,x+1\,}, \quad C\in\mathbb{R},\;x\neq -1. }

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