Nos exercícios 1 a 23, calcular a integral indefinida.
\int \frac{\left(x^{2}+1\right)}{x^{4}-7 x^{3}+18 x^{2}-20 x+8} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+1}{x^{4}-7x^{3}+18x^{2}-20x+8}\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de funções racionais por frações parciais. Para resolver, precisamos fatorar o denominador e depois decompor em frações simples.

Passo 2

Vamos fatorar o polinômio
x^{4}-7x^{3}+18x^{2}-20x+8.
Testando x=1 temos
1-7+18-20+8=0,
logo x-1 é fator. Dividindo por (x-1) (síntese ou divisão longa) sobra o polinômio
x^{3}-6x^{2}+12x-8,
que é exatamente (x-2)^{3}. Portanto
x^{4}-7x^{3}+18x^{2}-20x+8=(x-1)(x-2)^{3}.

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{x^{2}+1}{(x-1)(x-2)^{3}} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^{2}}+\frac{D}{(x-2)^{3}}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-2)^{3} obtém-se
x^{2}+1 =A(x-2)^{3}+B(x-1)(x-2)^{2}+C(x-1)(x-2)+D(x-1).

Passo 4

Para achar A,B,C,D, usamos x=1 e x=2 e comparamos coeficientes.
Tomando x=1
1^{2}+1=2=-A\implies A=-2.
Tomando x=2
2^{2}+1=5=D.
Expandindo o lado direito e igualando coeficientes de x^{3},x^{2},x,1, obtemos
B=2,\quad C=-1.
Assim
\frac{x^{2}+1}{(x-1)(x-2)^{3}} =-\frac{2}{x-1}+\frac{2}{x-2}-\frac{1}{(x-2)^{2}}+\frac{5}{(x-2)^{3}}.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int -\frac{2}{x-1}\,dx=-2\ln\lvert x-1\rvert,
\int \frac{2}{x-2}\,dx=2\ln\lvert x-2\rvert,
\int -\frac{1}{(x-2)^{2}}\,dx =-\int (x-2)^{-2}dx =\frac{1}{x-2},
\int \frac{5}{(x-2)^{3}}\,dx =5\int (x-2)^{-3}dx =-\frac{5}{2\,(x-2)^{2}}.

Resposta

\int \frac{x^{2}+1}{x^{4}-7x^{3}+18x^{2}-20x+8}\,dx =-2\ln\lvert x-1\rvert +2\ln\lvert x-2\rvert +\frac{1}{x-2} -\frac{5}{2\,(x-2)^{2}} +C.

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