Classifique a Equação Diferencial (ED) quanto ao tipo, ordem e linearidade e indique quais as variáveis dependentes e independentes.
y\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]=C, na qual C é uma constante.

Passo 1

O enunciado dá a equação
y\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right]=C,
onde C é uma constante, e pede que a gente classifique a equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade, e que identifiquemos as variáveis dependente e independente.
Informações fornecidas:
  • A equação envolve a função y e sua derivada \dfrac{dy}{dx}.
  • C é uma constante conhecida (não depende de x nem de y).
    As perguntas explícitas são: qual o tipo (por exemplo ordinária ou parcial, autônoma, etc.), qual a ordem, se é linear ou não, e quais são as variáveis dependente e independente.

Passo 2

Identificar a variável independente e a dependente.
Sempre que aparece \dfrac{dy}{dx} está implícito que y é uma função de x, ou seja y=y(x). Portanto:
  • variável independente: x;
  • variável dependente: y (escrito como y(x)).
    Isso significa que estamos trabalhando com derivada ordinária em relação a uma única variável.

Passo 3

Determinar a ordem da equação diferencial.
Definição rápida: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas que aparece nela. Aqui a maior derivada presente é \dfrac{dy}{dx}, que é a derivada de primeira ordem. Não aparecem \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} nem derivadas de ordem superior. Logo:
  • ordem: primeira ordem.

Passo 4

Determinar o tipo: ordinária ou parcial, e outras qualificações úteis.
  • Como a equação envolve derivadas ordinárias em relação a uma única variável x, trata‑se de uma equação diferencial ordinária (ODE).
  • Observação extra (útil para provas): a equação não menciona x explicitamente — só aparecem y e \dfrac{dy}{dx} — por isso é uma ODE autônoma (ou seja, independente de x explicitamente). Vou indicar isso porque é uma classificação comum.

Passo 5

Verificação de linearidade (o ponto central).
Definição curta e prática: uma equação diferencial de ordem n é linear se pode ser escrita como uma combinação linear das derivadas e de y com coeficientes que dependem somente da variável independente (aqui x), isto é, na forma
a_n(x)\frac{d^n y}{dx^n}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\cdots+a_0(x)y = g(x).
Repare que numa equação linear NÃO podem aparecer potências ou produtos entre y e suas derivadas (por exemplo y\cdot (y')^2 é proibido). Na nossa equação aparece o termo y\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2, que é um produto entre y e uma potência da derivada. Isso violaria a forma linear acima. Portanto:
  • a equação é não linear.

Passo 6

Comentário didático adicional: reescrevendo a equação para ver outras propriedades (separabilidade).
Podemos isolar \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2:
\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{C}{y}-1.
Tomando raiz (com os sinais \pm),
\frac{dy}{dx}=\pm\sqrt{\frac{C}{y}-1}.
Isto mostra duas coisas úteis:
  • a equação é autônoma (não aparece x explicitamente);
  • pode ser colocada numa forma separável: por exemplo
\frac{dy}{\sqrt{\dfrac{C}{y}-1}}=\pm dx,
ou, simplificando a raiz,
\frac{\sqrt{y}\,dy}{\sqrt{C-y}}=\pm dx.
Portanto, embora não seja linear, a equação é separável e pode ser integrada (com atenção às condições de domínio). Isso é bom de saber para a prova: “não linear” não significa “impossível de resolver”.

Passo 7

Observações sobre domínio e realidade das soluções (ponto prático para a prova).
Para que a raiz seja real é preciso \dfrac{C}{y}-1\ge 0, isto é \dfrac{C}{y}\ge 1. Dependendo do sinal de y e de C, isso impõe restrições (por exemplo, se y>0 e C>0 então exige y\le C). Em provas, vale mencionar essas restrições quando for integrar a equação para obter soluções reais.

Resposta

Tipo: Equação diferencial ordinária (ODE), autônoma (não depende explicitamente de x), e separável.
Ordem: primeira ordem.
Linearidade: não linear.
Variáveis: variável independente x; variável dependente y (ou y(x)).

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