Classifique a Equação Diferencial (ED) quanto ao tipo, ordem e linearidade e indique quais as variáveis dependentes e independentes.
, na qual
é uma constante.
Passo 1
O enunciado dá a equação
onde
é uma constante, e pede que a gente classifique a equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade, e que identifiquemos as variáveis dependente e independente.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A equação envolve a função
e sua derivada . -
é uma constante conhecida (não depende de nem de ).
As perguntas explícitas são: qual o tipo (por exemplo ordinária ou parcial, autônoma, etc.), qual a ordem, se é linear ou não, e quais são as variáveis dependente e independente.
Passo 2
Identificar a variável independente e a dependente.
Sempre que aparece está implícito que
é uma função de
, ou seja
. Portanto:
Sempre que aparece
- variável independente:
; - variável dependente:
(escrito como ).
Isso significa que estamos trabalhando com derivada ordinária em relação a uma única variável.
Passo 3
Determinar a ordem da equação diferencial.
Definição rápida: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas que aparece nela. Aqui a maior derivada presente é , que é a derivada de primeira ordem. Não aparecem
nem derivadas de ordem superior. Logo:
Definição rápida: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas que aparece nela. Aqui a maior derivada presente é
- ordem: primeira ordem.
Passo 4
Determinar o tipo: ordinária ou parcial, e outras qualificações úteis.
- Como a equação envolve derivadas ordinárias em relação a uma única variável
, trata‑se de uma equação diferencial ordinária (ODE). - Observação extra (útil para provas): a equação não menciona
explicitamente — só aparecem e — por isso é uma ODE autônoma (ou seja, independente de explicitamente). Vou indicar isso porque é uma classificação comum.
Passo 5
Verificação de linearidade (o ponto central).
Definição curta e prática: uma equação diferencial de ordem é linear se pode ser escrita como uma combinação linear das derivadas e de
com coeficientes que dependem somente da variável independente (aqui
), isto é, na forma
Definição curta e prática: uma equação diferencial de ordem
Repare que numa equação linear NÃO podem aparecer potências ou produtos entre
e suas derivadas (por exemplo
é proibido). Na nossa equação aparece o termo
, que é um produto entre
e uma potência da derivada. Isso violaria a forma linear acima. Portanto:
- a equação é não linear.
Passo 6
Comentário didático adicional: reescrevendo a equação para ver outras propriedades (separabilidade).
Podemos isolar :
Podemos isolar
Tomando raiz (com os sinais
),
Isto mostra duas coisas úteis:
- a equação é autônoma (não aparece
explicitamente); - pode ser colocada numa forma separável: por exemplo
ou, simplificando a raiz,
Portanto, embora não seja linear, a equação é separável e pode ser integrada (com atenção às condições de domínio). Isso é bom de saber para a prova: “não linear” não significa “impossível de resolver”.
Passo 7
Observações sobre domínio e realidade das soluções (ponto prático para a prova).
Para que a raiz seja real é preciso , isto é
. Dependendo do sinal de
e de
, isso impõe restrições (por exemplo, se
e
então exige
). Em provas, vale mencionar essas restrições quando for integrar a equação para obter soluções reais.
Para que a raiz seja real é preciso
Resposta
Tipo: Equação diferencial ordinária (ODE), autônoma (não depende explicitamente de
), e separável.
Ordem: primeira ordem.
Linearidade: não linear.
Variáveis: variável independente ; variável dependente
(ou
).
Ordem: primeira ordem.
Linearidade: não linear.
Variáveis: variável independente