Questão 1. Como objetivo de fazer uma previdência particular uma pessoa faz depósitos mensais a uma taxa de 400 t e^{-t / 100} reais por mês ( t em meses) durante 20 anos (suponha que o depósito é feito continuamente a uma taxa de 400 t e^{-t / 100} reais por mês e que o saldo inicial é zero). Suponha que neste período a taxa de juros seja de r=1 \% ao mês (contínua). Modele o problema encontrando uma equação diferencial para o saldo, S(t). Encontre a solução geral da equação diferencial. Qual o valor que esta pessoa iria ter ao fim de 20 anos. Use e^{\frac{12}{5}} \approx 11 e e^{-\frac{12}{5}} \approx 0. □ 11 milhões de reais. b) 5,5 milhões de reais. c) 55 mil reais. d) 1 milhão e 100 reais. e) 110 mil reais. f) 4 mil e 400 reais

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Depósito contínuo (taxa de aporte por mês): \;400\,t\,e^{-t/100} reais por mês, onde t está em meses.
  • Taxa de juros (contínua): \;r=1\% ao mês, ou seja \;r=0{,}01 por mês.
  • Duração: 20 anos \Rightarrow \;240 meses.
  • Saldo inicial: \;S(0)=0.
O enunciado pede:
  1. Modelar o problema encontrando uma equação diferencial para o saldo S(t).
  2. Encontrar a solução geral da equação diferencial (com a condição inicial).
  3. Calcular o valor do saldo ao final de 20 anos ( t=240 meses) e escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Montar a equação diferencial: o saldo varia por dois motivos — juros contínuos sobre o saldo e os depósitos contínuos. Logo a taxa de variação do saldo é a soma dos juros e do aporte instantâneo. Assim:
\frac{dS}{dt}=rS+400\,t\,e^{-t/100}.
Colocando r=0{,}01 fica
\frac{dS}{dt}=0{,}01\,S+400\,t\,e^{-t/100}.
Agora vou resolver essa equação linear de primeira ordem. A forma padrão é
\frac{dS}{dt}-0{,}01S=400\,t\,e^{-t/100}.
Explicando o método (integração por fator integrante): para uma equação \dfrac{dS}{dt}+p(t)S=q(t) o fator integrante é \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}. Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos \dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)S(t)\big)=\mu(t)q(t) e integramos.
Aqui p(t)=-0{,}01, logo
\mu(t)=e^{\int -0{,}01\,dt}=e^{-0{,}01t}.
Multiplicando a equação padrão por \mu(t):
e^{-0{,}01t}\frac{dS}{dt}-0{,}01e^{-0{,}01t}S=\;400\,t\,e^{-t/100}e^{-0{,}01t}.
O lado esquerdo é derivada do produto:
\frac{d}{dt}\big(e^{-0{,}01t}S(t)\big)=400\,t\,e^{-t/100}e^{-0{,}01t}.

Passo 3

Vou integrar dos instantes 0 até t. Usando S(0)=0:
e^{-0{,}01t}S(t)-e^{0}\,S(0)=\int_{0}^{t}400\,u\,e^{-u/100}e^{-0{,}01u}\,du.
Como S(0)=0 e e^{0}=1, obtemos
S(t)=e^{0{,}01t}\int_{0}^{t}400\,u\,e^{-u/100}e^{-0{,}01u}\,du.
Agora simplifico o integrando. Note que e^{-u/100}e^{-0{,}01u}=e^{-u(1/100+0{,}01)}. Como 1/100=0{,}01, tem-se 1/100+0{,}01=0{,}02. Portanto
S(t)=e^{0{,}01t}\int_{0}^{t}400\,u\,e^{-0{,}02u}\,du.
Preciso calcular I(t)=\int_{0}^{t}u\,e^{-0{,}02u}\,du. Faço por primitiva conhecida (ou por partes). Seja a=0{,}02. Uma primitiva é
\int u e^{-a u}\,du= -\frac{u}{a}e^{-a u}-\frac{1}{a^{2}}e^{-a u}+C.
Portanto, ao avaliar de 0 a t:
\int_{0}^{t}u e^{-a u}\,du= \left(-\frac{t}{a}e^{-a t}-\frac{1}{a^{2}}e^{-a t}\right)-\left(0-\frac{1}{a^{2}}\right) = \frac{1}{a^{2}}-e^{-a t}\left(\frac{t}{a}+\frac{1}{a^{2}}\right).
Substituindo a=0{,}02 temos \dfrac{1}{a}=50 e \dfrac{1}{a^{2}}=2500. Assim
\int_{0}^{t}u e^{-0{,}02u}\,du=2500-e^{-0{,}02t}\big(50t+2500\big).
Multiplicando por 400:
\int_{0}^{t}400\,u\,e^{-0{,}02u}\,du=400\cdot2500-400\,e^{-0{,}02t}(50t+2500).
Calculo os produtos: 400\cdot2500=1{,}000{,}000 e 400\cdot50=20{,}000. Logo a integral é
1{,}000{,}000- e^{-0{,}02t}\big(20{,}000t+1{,}000{,}000\big).
Voltando para S(t):
S(t)=e^{0{,}01t}\Big[1{,}000{,}000- e^{-0{,}02t}\big(20{,}000t+1{,}000{,}000\big)\Big].
Multiplicando e^{0{,}01t} pelos termos com e^{-0{,}02t} simplifica porque e^{0{,}01t}e^{-0{,}02t}=e^{-0{,}01t}. Portanto uma forma mais limpa é
S(t)=1{,}000{,}000\,e^{0{,}01t}-e^{-0{,}01t}\big(1{,}000{,}000+20{,}000t\big).
Essa é a solução explícita que satisfaz S(0)=0. (Se preferir, pode factorar e^{-0{,}01t}, mas essa forma deixa claro os termos crescentes e decrescentes.)

Passo 4

Agora calcular S(240) (fim de 20 anos). Temos 0{,}01\cdot240=2{,}4=\tfrac{12}{5}. O enunciado permite usar as aproximações \;e^{12/5}\approx11 e \;e^{-12/5}\approx0. Substituindo t=240 em
S(240)=1{,}000{,}000\,e^{2{,}4}-e^{-2{,}4}\big(1{,}000{,}000+20{,}000\cdot240\big).
Calculo interno: 20{,}000\cdot240=4{,}800{,}000. Então o segundo parêntese é 1{,}000{,}000+4{,}800{,}000=5{,}800{,}000.
Usando as aproximações do enunciado ( e^{2{,}4}\approx11 e e^{-2{,}4}\approx0):
S(240)\approx1{,}000{,}000\cdot 11 - 0\cdot 5{,}800{,}000=11{,}000{,}000.
Portanto ao fim de 20 anos o saldo aproximado é \;11{,}000{,}000 reais (11 milhões).

Resposta

a) 11 milhões de reais.

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