Questão 1. Como objetivo de fazer uma previdência particular uma pessoa faz depósitos mensais a uma taxa de
reais por mês (
em meses) durante 20 anos (suponha que o depósito é feito continuamente a uma taxa de
reais por mês e que o saldo inicial é zero). Suponha que neste período a taxa de juros seja de
ao mês (contínua). Modele o problema encontrando uma equação diferencial para o saldo,
. Encontre a solução geral da equação diferencial. Qual o valor que esta pessoa iria ter ao fim de 20 anos. Use
e
. □ 11 milhões de reais. b) 5,5 milhões de reais. c) 55 mil reais. d) 1 milhão e 100 reais. e) 110 mil reais. f) 4 mil e 400 reais
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Depósito contínuo (taxa de aporte por mês):
reais por mês, onde está em meses. - Taxa de juros (contínua):
ao mês, ou seja por mês. - Duração: 20 anos
meses. - Saldo inicial:
.
O enunciado pede:
- Modelar o problema encontrando uma equação diferencial para o saldo
. - Encontrar a solução geral da equação diferencial (com a condição inicial).
- Calcular o valor do saldo ao final de 20 anos (
meses) e escolher a alternativa correta entre as dadas.
Passo 2
Montar a equação diferencial: o saldo varia por dois motivos — juros contínuos sobre o saldo e os depósitos contínuos. Logo a taxa de variação do saldo é a soma dos juros e do aporte instantâneo. Assim:
Colocando
fica
Agora vou resolver essa equação linear de primeira ordem. A forma padrão é
Explicando o método (integração por fator integrante): para uma equação
o fator integrante é
. Multiplicando a equação por
obtemos
e integramos.
Aqui
, logo
Multiplicando a equação padrão por
:
O lado esquerdo é derivada do produto:
Passo 3
Vou integrar dos instantes
até
. Usando
:
Como
e
, obtemos
Agora simplifico o integrando. Note que
. Como
, tem-se
. Portanto
Preciso calcular
. Faço por primitiva conhecida (ou por partes). Seja
. Uma primitiva é
Portanto, ao avaliar de
a
:
Substituindo
temos
e
. Assim
Multiplicando por
:
Calculo os produtos:
e
. Logo a integral é
Voltando para
:
Multiplicando
pelos termos com
simplifica porque
. Portanto uma forma mais limpa é
Essa é a solução explícita que satisfaz
. (Se preferir, pode factorar
, mas essa forma deixa claro os termos crescentes e decrescentes.)
Passo 4
Agora calcular
(fim de 20 anos). Temos
. O enunciado permite usar as aproximações
e
. Substituindo
em
Calculo interno:
. Então o segundo parêntese é
.
Usando as aproximações do enunciado (
e
):
Portanto ao fim de 20 anos o saldo aproximado é
reais (11 milhões).
Resposta
a) 11 milhões de reais.