Classifique a equação diferencial parcial em relação a ordem e se a equação é linear ou não linear. No caso que a equação é linear, classifique se a equação é homogênea ou não homogênea.
u_xx + g(x, y) u_x + h(x, y) u_y = f(x, y)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial parcial . Precisamos classificar essa equação de duas maneiras: primeiro, em relação à sua ordem, e segundo, determinar se ela é linear ou não linear. Se for linear, também vamos ver se é homogênea ou não homogênea. Para isso, vamos relembrar o que significa a ordem de uma equação diferencial e o que caracteriza uma equação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente nela. Na nossa equação, temos (derivada segunda em relação a x), e (ambas derivadas primeiras). A maior ordem aqui é 2, então a equação é de segunda ordem.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é linear ou não linear. Uma equação diferencial é considerada linear se todas as derivadas de aparecem na primeira potência e não são multiplicadas entre si ou por funções de . Na nossa equação, , e estão todos na primeira potência e cada termo derivativo é multiplicado apenas por funções de e (como e ). Não há produtos ou potências das derivadas, então a equação é linear.

Passo 4

Como a equação é linear, vamos agora determinar se ela é homogênea ou não homogênea. Uma equação linear é homogênea se o termo do lado direito da igualdade for zero. Na nossa equação, temos do lado direito, que não é necessariamente zero. Portanto, a equação é não homogênea.

Resposta

A equação diferencial parcial é de segunda ordem, linear e não homogênea.

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