Suponha que f(z) = x^2 - y^2 - 2y + i(2x - 2xy), em que z = x + i y. Escreva f(z) em termos de z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função complexa , onde . A matéria que vamos usar aqui envolve números complexos e a representação de funções complexas em termos de z. Para resolver isso, vamos precisar expressar x e y em função de z e z barra (o conjugado de z).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expressar x e y em termos de z e z barra. Sabemos que:
Então, podemos resolver para x e y:

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na função f(z):

Passo 4

Vamos simplificar cada termo passo a passo. Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :

Passo 5

Agora, substituímos esses resultados na função f(z):
Simplificando:

Passo 6

Continuando a simplificação:
Simplificando os coeficientes:

Passo 7

Agora, vamos reorganizar os termos:
Note que .

Passo 8

Substituindo de volta:
Simplificando os termos:

Resposta

Então, expressando f(z) em termos de z e seu conjugado, temos:

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