Classifique a equação diferencial parcial em relação a ordem e se a equação é linear ou não linear. No caso que a equação é linear, classifique se a equação é homogênea ou não homogênea.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial parcial:
. A missão aqui é classificar essa equação em relação à sua ordem e dizer se ela é linear ou não. Se for linear, também vamos ver se ela é homogênea ou não homogênea. Para isso, vamos usar conceitos básicos de equações diferenciais parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial parcial é determinada pelo maior número de derivadas que aparecem nela. Olhando para
, temos:
- Duas derivadas em relação a
(representado por ) - Uma derivada em relação a
(representado por ) - Mais uma derivada em relação a
(mais um ) - Três derivadas em relação a
(representado por )
Somando tudo, temos
. Então, a ordem da equação é 7.
Passo 3
Agora, vamos ver se a equação é linear ou não linear. Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear, ou seja, sem serem multiplicadas entre si ou passarem por funções não lineares.
Na nossa equação
, a derivada de
aparece sozinha e igualada a uma constante (1). Não há termos como
ou
, então a equação é linear.
Passo 4
Como determinamos que a equação é linear, vamos classificar se ela é homogênea ou não homogênea. Uma equação linear é homogênea se o lado direito for zero e não homogênea se for diferente de zero.
Aqui, temos
. O lado direito é 1, que não é zero. Portanto, a equação é não homogênea.
Resposta
A equação diferencial parcial
é de ordem 7, linear e não homogênea.