Classifique a equação diferencial parcial em relação a ordem e se a equação é linear ou não linear. No caso que a equação é linear, classifique se a equação é homogênea ou não homogênea.
u_x x y x z z z = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial parcial: . A missão aqui é classificar essa equação em relação à sua ordem e dizer se ela é linear ou não. Se for linear, também vamos ver se ela é homogênea ou não homogênea. Para isso, vamos usar conceitos básicos de equações diferenciais parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial parcial é determinada pelo maior número de derivadas que aparecem nela. Olhando para , temos:
  • Duas derivadas em relação a (representado por )
  • Uma derivada em relação a (representado por )
  • Mais uma derivada em relação a (mais um )
  • Três derivadas em relação a (representado por )
Somando tudo, temos . Então, a ordem da equação é 7.

Passo 3

Agora, vamos ver se a equação é linear ou não linear. Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas de forma linear, ou seja, sem serem multiplicadas entre si ou passarem por funções não lineares.
Na nossa equação , a derivada de aparece sozinha e igualada a uma constante (1). Não há termos como ou , então a equação é linear.

Passo 4

Como determinamos que a equação é linear, vamos classificar se ela é homogênea ou não homogênea. Uma equação linear é homogênea se o lado direito for zero e não homogênea se for diferente de zero.
Aqui, temos . O lado direito é 1, que não é zero. Portanto, a equação é não homogênea.

Resposta

A equação diferencial parcial é de ordem 7, linear e não homogênea.

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