Encontre uma solução para o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial parcial. A gente tem a equação
e a condição inicial
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais parciais, especificamente às equações de primeira ordem. Vamos precisar entender como resolver uma equação onde a derivada parcial de
em relação a
é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a equação
. Isso significa que a derivada de
em relação a
é zero. Quando a derivada de uma função em relação a uma variável é zero, isso indica que a função não depende dessa variável. Então,
não depende de
e, portanto, é uma função apenas de
.
Passo 3
Como
é apenas uma função de
, podemos escrever
, onde
é alguma função de
que precisamos determinar. Agora, usamos a condição inicial que foi dada:
.
Passo 4
Substituindo
na expressão
, temos:
Isso nos mostra que a função
é igual a
.
Passo 5
Com isso, já podemos concluir que a solução geral da equação diferencial é:
Porque, conforme vimos,
não depende de
e a função de
é exatamente a que satisfaz a condição inicial.