Encontre uma solução para o problema de valor inicial
u_x = 0 e u(0, y) = cos(y) e^y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial parcial. A gente tem a equação e a condição inicial . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais parciais, especificamente às equações de primeira ordem. Vamos precisar entender como resolver uma equação onde a derivada parcial de em relação a é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a equação . Isso significa que a derivada de em relação a é zero. Quando a derivada de uma função em relação a uma variável é zero, isso indica que a função não depende dessa variável. Então, não depende de e, portanto, é uma função apenas de .

Passo 3

Como é apenas uma função de , podemos escrever , onde é alguma função de que precisamos determinar. Agora, usamos a condição inicial que foi dada: .

Passo 4

Substituindo na expressão , temos:
Isso nos mostra que a função é igual a .

Passo 5

Com isso, já podemos concluir que a solução geral da equação diferencial é:
Porque, conforme vimos, não depende de e a função de é exatamente a que satisfaz a condição inicial.

Resposta

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