Usando integração obtenha uma solução para a equação
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial parcial usando integração. A equação que temos é:
Aqui,
representa a segunda derivada parcial de
em relação a
. Para resolver, vamos integrar essa equação duas vezes em relação a
. Precisaremos usar as regras de integração para funções exponenciais, trigonométricas e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a equação uma vez em relação a
para encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
.
Vamos integrar cada termo separadamente:
-
Integrando
: Tratandocomo constante em relação a , temos: -
Integrando
: Comoé constante em relação a : -
Integrando
:
Não se esqueça da constante de integração, que pode ser uma função de
(já que estamos integrando em relação a
):
Então, a expressão para
fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar novamente em relação a
para encontrar
.
Vamos integrar cada termo:
-
Integrando
: -
Integrando
: -
Integrando
: -
Integrando
: Comoé uma função de , sua integral em relação a será:
Aqui,
é outra função de
que surge como constante de integração.
Então, juntando tudo:
Passo 4
Para deixar a solução mais completa, podemos combinar as funções
e
em uma única função arbitrária de
, já que ambas são funções livres de
. Vamos chamar essa função de
.
Então, a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação é
onde
é uma função arbitrária de
.