Usando integração obtenha uma solução para a equação
u_{y y} = cos(x) * e^(3*x + 2*y) + x * y^2 + 2 em R^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial parcial usando integração. A equação que temos é:
Aqui, representa a segunda derivada parcial de u em relação a y. Para resolver, vamos integrar essa equação duas vezes em relação a y. Precisaremos usar as regras de integração para funções exponenciais, trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a equação uma vez em relação a y para encontrar a primeira derivada parcial de u em relação a y, que chamaremos de .
Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integrando :
    Tratando como constante em relação a y, temos:
  2. Integrando x y^2:
    Como x é constante em relação a y:
  3. Integrando :
Não se esqueça da constante de integração, que pode ser uma função de x (já que estamos integrando em relação a y):
Então, a expressão para fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar novamente em relação a y para encontrar u.
Vamos integrar cada termo:
  1. Integrando :
  2. Integrando :
  3. Integrando :
  4. Integrando C(x):
    Como C(x) é uma função de x, sua integral em relação a y será:
Aqui, D(x) é outra função de x que surge como constante de integração.
Então, juntando tudo:

Passo 4

Para deixar a solução mais completa, podemos combinar as funções C(x) e D(x) em uma única função arbitrária de x, já que ambas são funções livres de x. Vamos chamar essa função de F(x).
Então, a solução geral fica:

Resposta

A solução geral da equação é
onde F(x) é uma função arbitrária de x.

Exercícios relacionados