Classifique a equação diferencial como separável, linear, exata ou nenhuma destas:
-(x^10-2 y) d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
-l(x^10-2yr),dx + x,dy = 0
como separável, linear, exata ou nenhuma destas. Vamos precisar reescrever no formato padrão
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e testar cada tipo: exatidão (checando partial M/partial y = partial N/partial x), separabilidade (ver se tfracdydx=f(x),g(y)) e linearidade (colocar em tfracdydx+P(x),y=Q(x)).

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = -l(x^10-2yr) = -x^10 + 2y, N(x,y) = x

Passo 3

Testamos exatidão, calculando:
partial Mpartial y = 2, partial Npartial x = 1
Como 2 neq 1, a equação não é exata.

Passo 4

Tentamos ver se é separável. Primeiro isolamos
x,dydx = x^10-2y ;Longrightarrow; dydx = x^9 - 2x,y
Essa expressão não se escreve como f(x),g(y), logo não é separável.

Passo 5

Agora observamos que
dydx + 2x,y = x^9,
que é exatamente a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
tfracdydx+P(x),y=Q(x), com P(x)=2/x e Q(x)=x^9.

Resposta

A equação diferencial é linear.

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