Resolva a equação linear (EDO de 1ª ordem):
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de 1ª ordem
e pede sua resolução. Vamos primeiro escrever na forma padrão
e verificar se ela é de fato uma EDO linear em
.
Passo 2
Para ser uma EDO linear de 1ª ordem ela teria que estar na forma
isto é, o termo do lado direito
deve depender apenas de
.
Aqui, em vez de , temos
, que depende de
.
Logo, a equação não é linear, mas sim não-linear.
Aqui, em vez de
Logo, a equação não é linear, mas sim não-linear.
Passo 3
Tentamos separar variáveis
porém o denominador
mistura
e
, impedindo a separação.
Passo 4
Podemos também escrever em forma diferencial exata:
mas checando
de
dá
e
de
dá
,
logo não é exata e não há fator integrante elementar em ou em
que resolva isso de forma simples.
e
logo não é exata e não há fator integrante elementar em
Passo 5
Concluímos que essa EDO não-linear de 1ª ordem não admite solução explícita em termos de funções elementares. A única forma de “resolver” é deixar por quadratura implícita
reconhecendo que o integral à esquerda não se expressa em funções elementares conhecidas.
Resposta
A equação é não-linear e não possui solução explícita em funções elementares; sua forma de solução fica dada implicitamente por