Resolva a equação linear (EDO de 1ª ordem):
-d xd t+x t=e^x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de 1ª ordem
-dxdt+x,t=e^x
e pede sua resolução. Vamos primeiro escrever na forma padrão
dxdt-t,x=-e^x
e verificar se ela é de fato uma EDO linear em x(t).

Passo 2

Para ser uma EDO linear de 1ª ordem ela teria que estar na forma
dxdt+a(t),x=b(t),
isto é, o termo do lado direito b deve depender apenas de t.
Aqui, em vez de b(t), temos -e^x, que depende de x.
Logo, a equação não é linear, mas sim não-linear.

Passo 3

Tentamos separar variáveis
dxdt=t,x - e^x Longrightarrow dxt,x - e^x=dt,
porém o denominador t,x - e^x mistura t e x, impedindo a separação.

Passo 4

Podemos também escrever em forma diferencial exata:
(t,x - e^x),dt - 1cdot dx =0,
mas checando
partial/partial x de M(t,x)=t,x-e^x t-e^x
e
partial/partial t de N(t,x)=-1 0,
logo não é exata e não há fator integrante elementar em t ou em x que resolva isso de forma simples.

Passo 5

Concluímos que essa EDO não-linear de 1ª ordem não admite solução explícita em termos de funções elementares. A única forma de “resolver” é deixar por quadratura implícita
integral dxt,x - e^x ;=;integral dt = t + C,
reconhecendo que o integral à esquerda não se expressa em funções elementares conhecidas.

Resposta

A equação é não-linear e não possui solução explícita em funções elementares; sua forma de solução fica dada implicitamente por
integral dxt,x - e^x = t + C

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