Esta equação é exata? (1+e^x y+x e^x y) d x+(x e^x+2) d y=0
Se for exata, resolva-a

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(1 + e^xy + x e^xyr),dx + l(x e^x + 2r),dy = 0
que é um caso de equação exata. Para resolver precisamos:
  1. Identificar M(x,y)=1 + e^xy + x e^xy e N(x,y)=x e^x+2.
  2. Verificar se partial M/partial y = partial N/partial x.
  3. Se for exata, encontrar uma função potencial psi(x,y) tal que
    psix = M e psiy = N.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial yl(1 + e^xy + x e^xyr) = e^x + x e^x,
partial Npartial x = partialpartial xl(x e^x + 2r) = e^x + x e^x
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos psi(x,y) integrando M em relação a x:
psi(x,y) = integral l(1 + e^xy + x e^xyr),dx = integral 1,dx + yintegral e^x,dx + yintegral x e^x,dx
Calculamos cada termo:
integral 1,dx = x, yintegral e^x,dx = y,e^x, yintegral x e^x,dx = yl(x e^x-e^xr) = yx e^x - y e^x
Somando e simplificando os termos em y e^x:
psi(x,y) = x + yx e^x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Impondo psiy = N, temos
partial psipartial y = x e^x + h'(y) stackrel!= x e^x + 2
Logo h'(y)=2, de onde
h(y)=2y + C0
Podemos absorver C0 na constante final.

Resposta

A solução implícita é
psi(x,y)=x + x y e^x + 2y = C,
ou seja,
xl(1 + y e^xr) + 2y = C

Exercícios relacionados