Em uma pesquisa sobre o uso de aplicativos de estudo, um grupo * 10 pontos de 120 alunos respondeu quais aplicativos utilizam regularmente. Os resultados foram:
70 alunos utilizam o aplicativo A .
55 alunos utilizam o aplicativo B.
40 alunos utilizam o aplicativo C .
30 alunos utilizam A e B.
25 alunos utilizam A e C.
20 alunos utilizam BeC.
15 alunos utilizam os três aplicativos (A, Be C).
Com base nesses dados, determine:
a) Quantos alunos utilizam pelo menos um dos aplicativos?
b) Quantos alunos não utilizam nenhum dos aplicativos?
c) Quantos alunos utilizam apenas um dos aplicativos?
d) Quantos alunos utilizam exatamente dois aplicativos?
e) Quantos alunos utilizam o aplicativo A, mas não utilizam B nem C ?

Passo 1

Resumindo, temos três conjuntos de alunos usando aplicativos A, B e C com os seguintes tamanhos e interseções em uma turma de N=120:
|A|=70, |B|=55, |C|=40,
|Acap B|=30, |Acap C|=25, |Bcap C|=20, |Acap Bcap C|=15
O conteúdo é o Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos.

Passo 2

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão,
|Acup Bcup C| =|A|+|B|+|C| -|Acap B| -|Acap C| -|Bcap C| +|Acap Bcap C|
Substituindo os valores:
|Acup Bcup C| =70+55+40-30-25-20+15 =105

Passo 3

O número de alunos que não utilizam nenhum aplicativo é
120 - |Acup Bcup C| =120 - 105 =15

Passo 4

Para achar quem usa exatamente um aplicativo, calculamos:
A apenas = |A| - |Acap B| - |Acap C| + |Acap Bcap C| =70 -30 -25 +15 =30,
B apenas =55 -30 -20 +15 =20,
C apenas =40 -25 -20 +15 =10
Logo, a soma dos que usam exatamente um é
30 + 20 + 10 = 60
Além disso, o valor de quem usa A mas não usa nem B nem C é justamente 30.

Passo 5

Para quem usa exatamente dois aplicativos, subtraímos a turma dos três de cada interseção de pares:
(A e B) apenas =30 -15 =15,
(A e C) apenas =25 -15 =10,
(B e C) apenas =20 -15 =5
Somando temos
15 + 10 + 5 =30

Resposta

(a) 105
(b) 15
(c) 60
(d) 30
(e) 30

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