Classifique a equação diferencial como separável, linear, exata ou nenhuma destas:
-y^2 d x+(2 x y+cos y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial de primeira ordem
-y^2,dx + (2xy + cos y),dy = 0
como separável, linear (no sentido usual em y), exata ou nenhuma destas. Para isso vamos verificar, em ordem:
  1. exatidão: partial M/partial y = partial N/partial x;
  2. separabilidade: se dá para escrever em f(x),dx + g(y),dy = 0;
  3. linearidade em y: se dá para pôr na forma y' + P(x)y = Q(x).

Passo 2

Verificação de exatidão. Identificamos
M(x,y) = -y^2, N(x,y) = 2xy + cos y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partial (-y^2)partial y = -2y, partial Npartial x = partial (2xy + cos y)partial x = 2y
Como -2y neq 2y, a equação não é exata.

Passo 3

Verificação de separabilidade. Reescrevendo em forma de dx/dy:
-y^2,dx + (2xy + cos y),dy = 0 Longrightarrow y^2,dx = (2xy + cos y),dy Longrightarrow dxdy = 2xy + cos yy^2 = 2xy + cos yy^2
Aqui x e y não separam num só produto de função de x por função de y. Logo, não é separável.

Passo 4

Verificação de linearidade em y. Reescrevendo em y' = dy/dx:
-y^2 + (2xy + cos y),dydx = 0 Longrightarrow dydx = y^22xy + cos y
Isso não se ajusta à forma y' + P(x),y = Q(x), pois há mistura não linear de y em numerador e denominador. Portanto não é linear no sentido usual para y(x).

Passo 5

Concluímos que a equação não satisfaz nenhum dos três critérios (exata, separável ou linear em y).

Resposta

Nenhuma destas.

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