Classifique a equação diferencial como separável, linear, exata ou nenhuma destas:

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO na forma (y e^xy + 2x),dx + (x e^xy - 2y),dy = 0 e pede para classificá-la como separável, linear, exata ou nenhuma destas. Vamos usar conceitos de separabilidade, linearidade e exatidão para decidir.

Passo 2

Para testar separabilidade, tentaríamos escrever dy/dx = f(x)g(y). Aqui, ao passar (y e^xy+2x) para o outro lado, não conseguimos isolar x só com função de x nem y só com função de y, pois aparece e^xy. Logo, não é separável.

Passo 3

Para testar linearidade, precisaríamos reescrever em uma forma como dy/dx + P(x),y = Q(x) ou inverter para dx/dy + R(y),x = S(y). Devido ao termo e^xy misturando x e y de forma exponencial, não nos encaixamos em nenhuma dessas formas lineares. Então não é linear.

Passo 4

Para testar exatidão, defina M(x,y) = y e^xy + 2x e N(x,y) = x e^xy - 2y. Calculamos as derivadas parciais:
Derivada de M em relação a y:
partial Mpartial y = partialpartial y(y e^xy) + partialpartial y(2x) = e^xy + xy e^xy + 0 = e^xy + xy e^xy

Passo 5

Derivada de N em relação a x:
partial Npartial x = partialpartial x(x e^xy) - partialpartial x(2y) = e^xy + xy e^xy - 0 = e^xy + xy e^xy

Passo 6

Como partial M/partial y = partial N/partial x, a EDO é exata.

Resposta

Exata

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