Encontre a solução geral da equação: (x^2+1) d yd x+x y-x=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação (x^2+1)dydx+x,y - x = 0. Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem do tipo dydx+P(x)y=Q(x). Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, dividimos toda a equação por (x^2+1). Assim obtemos a forma padrão:
dydx+xx^2+1,y=xx^2+1
onde P(x)=xx^2+1 e Q(x)=xx^2+1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) que satisfaz
mu(x)=e^integral P(x),dx. Note que
integralxx^2+1,dx=12lnl(x^2+1r)
portanto
mu(x)=e^12ln(x^2+1)=raizx^2+1

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por mu(x), temos
raizx^2+1,dydx+xraizx^2+1x^2+1,y =xraizx^2+1x^2+1
O lado esquerdo é a derivada do produto ddxl(raizx^2+1,yr). Logo,
ddxl(raizx^2+1,yr) =xraizx^2+1

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
raizx^2+1,y =integralxraizx^2+1,dx + C
Reconhecemos que
ddxl(raizx^2+1r)=xraizx^2+1,
então
integralxraizx^2+1,dx =raizx^2+1
Portanto
raizx^2+1,y=raizx^2+1+C
e isolando y,
y=1+Craizx^2+1

Resposta

y=1+Craizx^2+1

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