Determine a área da superfície da parte do plano: x+y+z=2 que está no primeiro octante.
O que é o primeiro octante?

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do plano
x + y + z = 2
que está no primeiro octante. O conteúdo envolvido é cálculo de área de superfície de um gráfico z = f(x,y) usando a fórmula
A = integral duplaD raiz1 + fx^2 + fy^2,dA

Passo 2

O primeiro octante é a região do espaço em que
x >= 0, y >= 0, z >= 0

Passo 3

O plano intercepta os eixos nos pontos
(2,0,0), (0,2,0), (0,0,2)
Projetando essa parte no plano xy, obtemos o triângulo
D = (x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=2

Passo 4

Escrevendo
z = f(x,y) = 2 - x - y,
temos
fx = -1, fy = -1
e assim
raiz1 + fx^2 + fy^2 = raiz1 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz3
Logo
A = integral duplaD raiz3,dA = raiz3,integral duplaD dA = raiz3,área(D) á

Passo 5

A área de D é a de um triângulo de base 2 e altura 2, ou seja,
área(D) = tfrac12 cdot 2 cdot 2 = 2 á
Portanto
A = 2raiz3

Resposta

2raiz3

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