Determine a área da superfície da parte do plano: que está no primeiro octante.
Qual é a formula para calcular uma área da superfície da parte do plano no plano apenas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a área da superfície da parte do plano que está no primeiro octante. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria espacial, especificamente sobre planos e como calcular áreas de figuras tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o primeiro octante. No espaço tridimensional, temos oito octantes, e o primeiro octante é onde todas as coordenadas , e são positivas. Ou seja, , e .
Passo 3
Agora, vamos descobrir onde o plano intercepta os eixos , e . Para isso, vamos encontrar os pontos de interseção:
Interseção com o eixo : Quando e , temos . Então, o ponto é .
Interseção com o eixo : Quando e , temos . Então, o ponto é .
Interseção com o eixo : Quando e , temos . Então, o ponto é .
Passo 4
Esses três pontos , e formam um triângulo no primeiro octante. Nosso objetivo é calcular a área desse triângulo.
Passo 5
Para calcular a área de um triângulo no espaço, podemos usar o produto vetorial. Primeiro, vamos definir dois vetores que estão no triângulo:
Vetor de para :
Vetor de para :
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores :