Determine a área da superfície da parte do plano: x+y+z=2 que está no primeiro octante.
Qual é a formula para calcular uma área da superfície da parte do plano x+y+z=2 no plano xy apenas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a área da superfície da parte do plano x + y + z = 2 que está no primeiro octante. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria espacial, especificamente sobre planos e como calcular áreas de figuras tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o primeiro octante. No espaço tridimensional, temos oito octantes, e o primeiro octante é onde todas as coordenadas x , y e z são positivas. Ou seja, x > 0 , y > 0 e z > 0 .

Passo 3

Agora, vamos descobrir onde o plano x + y + z = 2 intercepta os eixos x , y e z . Para isso, vamos encontrar os pontos de interseção:
  • Interseção com o eixo x : Quando y = 0 e z = 0 , temos x = 2 . Então, o ponto é (2, 0, 0) .
  • Interseção com o eixo y : Quando x = 0 e z = 0 , temos y = 2 . Então, o ponto é (0, 2, 0) .
  • Interseção com o eixo z : Quando x = 0 e y = 0 , temos z = 2 . Então, o ponto é (0, 0, 2) .

Passo 4

Esses três pontos (2, 0, 0) , (0, 2, 0) e (0, 0, 2) formam um triângulo no primeiro octante. Nosso objetivo é calcular a área desse triângulo.

Passo 5

Para calcular a área de um triângulo no espaço, podemos usar o produto vetorial. Primeiro, vamos definir dois vetores que estão no triângulo:
  • Vetor AB de A(2, 0, 0) para B(0, 2, 0) :
AB = B - A = (0 - 2, 2 - 0, 0 - 0) = (-2, 2, 0)
  • Vetor AC de A(2, 0, 0) para C(0, 0, 2) :
AC = C - A = (0 - 2, 0 - 0, 2 - 0) = (-2, 0, 2)

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores AB times AC :
AB times AC = i & j & k -2 & 2 & 0 -2 & 0 & 2
= i(2 cdot 2 - 0 cdot 0) - j(-2 cdot 2 - 0 cdot -2) + k(-2 cdot 0 - 2 cdot -2)
= 4i + 4j + 4k

Passo 7

A magnitude desse vetor resultante nos dá o dobro da área do triângulo:
|AB times AC| = raiz4^2 + 4^2 + 4^2 = raiz16 + 16 + 16 = raiz48 = 4raiz3
Portanto, a área do triângulo é:
Área = 12 |AB times AC| = 12 times 4raiz3 = 2raiz3 Á

Resposta

A área da superfície da parte do plano x + y + z = 2 que está no primeiro octante é 2raiz3 unidades de área.

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