Obtenha a solução geral para a equação diferencial:
-(2 x+y) d x+(x-2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
-(2x+y),dx + (x-2y),dy = 0
que é homogênea de grau 1 em x e y. Para resolver, vamos usar a substituição típica de equações homogêneas:
y = v x, v = yx

Passo 2

Reescrevendo a equação como uma razão, obtemos
dydx = 2x + y,x - 2y,
Com a substituição y = v x, tem-se
dydx = v + xdvdx
Logo, substituindo em dydx,
v + xdvdx = 2x + vx,x - 2vx, = 2+v,1-2v,

Passo 3

Isolando x,dv/dx,
xdvdx = 2+v1-2v - v = 2 + v - v(1-2v)1-2v = 2 + 2v^21-2v = 2;1+v^21-2v

Passo 4

Agora separam-se as variáveis v e x:
1-2v2(1+v^2),dv = dxx
Integramos cada lado:
integral 1-2v2(1+v^2),dv = 12integral dv1+v^2 - integral v1+v^2,dv = 12arctan v - 12lnl(1+v^2r),
integral dxx = lnlvert xrvert + C
Portanto,
12arctan v - 12lnl(1+v^2r) = lnlvert xrvert + C

Passo 5

Multiplicando por 2 e substituindo v = tfracyx,
arctan!l(tfracyxr) - lnl(1+(tfracyx)^2r) = 2lnlvert xrvert + C'
Como
lnl(1+(tfracyx)^2r) + 2lnlvert xrvert = lnl((1+tfracy^2x^2),x^2r) = lnl(x^2+y^2r),
a forma final pode ser escrita implicitamente como

Resposta

arctan!l(tfracyxr) - lnl(x^2 + y^2r) = C,
onde C é a constante geral de integração.

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