Resolva o problema de valor inicial
\sin x \frac{d y}{d x}+y \cos x=x \sin x, \quad y(\pi / 2)=2
Escolha uma opção:
a. Consegui resolver
b. Não sei como resolver.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial
\sin x\,\frac{dy}{dx} + y\cos x = x\sin x, \qquad y\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=2.
O conteúdo é equações lineares de 1ª ordem e vamos usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo tudo por \sin x (para \sin x\neq0) obtemos a forma padrão
\frac{dy}{dx} + y\cot x = x.
Aqui o coeficiente de y é \cot x.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \cot x\,dx\Bigr) = \exp\bigl(\ln|\sin x|\bigr) = \sin x.
Multiplicando a equação por \sin x recuperamos
\sin x\,\frac{dy}{dx} + y\cos x = \frac{d}{dx}\bigl(y\sin x\bigr) = x\sin x.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
y\sin x = \int x\sin x\,dx + C.
Usando integração por partes em \int x\sin x\,dx com u=x, dv=\sin x\,dx, vem
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x + C_1.
Logo
y\sin x = -x\cos x + \sin x + C.

Passo 5

Isolando y:
y = -x\cot x + 1 + C\,\csc x.
Impondo y(\pi/2)=2, temos \cot(\pi/2)=0, \csc(\pi/2)=1, logo
2 = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C=1.
Portanto a solução é
y(x) = 1 - x\cot x + \csc x.

Resposta

a. Consegui resolver

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