Obtenha a solução geral para a equação diferencial
(2 x+y) d x+(x-2 y) d y=0
Escolha uma opção:
a. Resolvido.
b. Não consegui resolver.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial (2x+y)\,dx+(x-2y)\,dy=0. O conteúdo é equações diferenciais exatas e usaremos o teste de exatidão e função potencial para resolver.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=2x+y e N(x,y)=x-2y. Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y}=1
e
\frac{\partial N}{\partial x}=1.
Como esses dois valores coincidem, a equação é exata.

Passo 3

Existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y)=2x+y.
Para encontrá-la, integramos M em relação a x:
\psi(x,y)=\int (2x+y)\,dx=x^2+xy+h(y),
onde h(y) é função de y a determinar.

Passo 4

Diferenciamos \psi em relação a y e igualamos a N:
\frac{\partial \psi}{\partial y}=x+h'(y)=N(x,y)=x-2y.
Logo
h'(y)=-2y,
e integrando obtemos
h(y)=-y^2.

Passo 5

Substituindo h(y) em \psi, a solução implícita geral fica
\psi(x,y)=x^2+xy-y^2=C,
sendo C constante arbitrária.

Resposta

a. Resolvido.

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