classifique a equação como separável, linear, exata ou nenhuma destas. Observe que algumas equações podem ter mais de uma classificação.
y^2 d x+(2 x y+cos y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial y^2 , dx + (2xy + cos y) , dy = 0 e precisa descobrir se ela é separável, linear, exata ou nenhuma dessas. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e verificar cada uma dessas classificações passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a equação é separável. Uma equação diferencial é separável quando conseguimos separar as variáveis x e y em lados opostos da equação, ou seja, na forma f(x) , dx = g(y) , dy .
Vamos tentar:
y^2 , dx + (2xy + cos y) , dy = 0
Podemos reescrever assim:
y^2 , dx = - (2xy + cos y) , dy
dxdy = - 2xy + cos yy^2
Aqui, a gente tem x e y misturados na expressão, então não dá para separar facilmente as variáveis. Portanto, não é separável.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se pode ser escrita na forma:
dydx + P(x) , y = Q(x)
Vamos reorganizar a equação original:
y^2 , dx + (2xy + cos y) , dy = 0
y^2 , dx = - (2xy + cos y) , dy
dxdy = - 2xy + cos yy^2
dydx = - y^22xy + cos y
Essa expressão está bastante complicada e não se encaixa na forma linear padrão porque temos termos como y^2 e cos y que não se ajustam a P(x) , y e Q(x) . Portanto, não é linear.

Passo 4

Vamos agora verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma M(x,y) , dx + N(x,y) , dy = 0 é exata se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos identificar M(x,y) e N(x,y) :
M(x,y) = y^2
N(x,y) = 2xy + cos y
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2y
partial Npartial x = 2y
Como partial Mpartial y = partial Npartial x , a equação é exata.

Resposta

A equação diferencial y^2 , dx + (2xy + cos y) , dy = 0 é exata.

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