Determine o raio e o intervalo de convergencia de cada série abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o raio e o intervalo de convergência da série:
Vamos usar o conteúdo de séries de potência e o teste da razão para descobrir esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma que facilite a aplicação do teste da razão. Observe que:
Então, a série fica:
Isso mostra que nossa série é uma série geométrica com razão comum
.
Passo 3
Para uma série geométrica da forma
, sabemos que a série converge se o valor absoluto da razão comum for menor que 1, ou seja:
Aplicando isso à nossa série:
Como o denominador é negativo, o valor absoluto elimina o sinal negativo:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar os valores de
x que satisfazem a condição:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Tirando a raiz quadrada:
Isso significa que o raio de convergência é 2.
Passo 5
Com o raio de convergência determinado, o intervalo de convergência é os valores de
x que estão dentro desse raio. Então:
Agora, vamos verificar os extremos
x = -2 e
x = 2 para ver se a série converge nesses pontos.
Passo 6
Para
x = 2 :
Essa série é alternada e não converge, pois os termos não tendem a zero.
Para
x = -2 :
Da mesma forma, essa série também não converge.
Resposta
O raio de convergência é 2 e o intervalo de convergência é
-2 < x < 2 .