Determine o raio e o intervalo de convergencia de cada série abaixo:
sumn=0^infty x^2 n+1(-4)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o raio e o intervalo de convergência da série:
sumn=0^infty x^2n+1(-4)^n
Vamos usar o conteúdo de séries de potência e o teste da razão para descobrir esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma que facilite a aplicação do teste da razão. Observe que:
x^2n+1(-4)^n = x cdot (x^2-4)^n
Então, a série fica:
sumn=0^infty x cdot (x^2-4)^n
Isso mostra que nossa série é uma série geométrica com razão comum r = x^2-4.

Passo 3

Para uma série geométrica da forma sumn=0^infty a cdot r^n, sabemos que a série converge se o valor absoluto da razão comum for menor que 1, ou seja:
|r| < 1
Aplicando isso à nossa série:
| x^2-4 | < 1
Como o denominador é negativo, o valor absoluto elimina o sinal negativo:
x^24 < 1

Passo 4

Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar os valores de x que satisfazem a condição:
x^24 < 1
Multiplicando ambos os lados por 4:
x^2 < 4
Tirando a raiz quadrada:
|x| < 2
Isso significa que o raio de convergência é 2.

Passo 5

Com o raio de convergência determinado, o intervalo de convergência é os valores de x que estão dentro desse raio. Então:
-2 < x < 2
Agora, vamos verificar os extremos x = -2 e x = 2 para ver se a série converge nesses pontos.

Passo 6

Para x = 2 :
sumn=0^infty 2^2n+1(-4)^n = 2 sumn=0^infty (4-4)^n = 2 sumn=0^infty (-1)^n
Essa série é alternada e não converge, pois os termos não tendem a zero.
Para x = -2 :
sumn=0^infty (-2)^2n+1(-4)^n = -2 sumn=0^infty (4-4)^n = -2 sumn=0^infty (-1)^n
Da mesma forma, essa série também não converge.

Resposta

O raio de convergência é 2 e o intervalo de convergência é -2 < x < 2 .

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