Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte sistema de equações diferenciais:
onde
, e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá duas equações com derivadas de
e
, e condições iniciais
e
. Para isso, vamos precisar conhecer a Transformada de Laplace e como aplicá-la em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada equação do sistema. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada, por exemplo,
, onde
é a transformada de
.
Passo 3
Aplicando na primeira equação
:
Substituindo pelas transformadas:
Usando
e
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na segunda equação
:
Substituindo:
Com
e
:
Simplificando:
Passo 5
Agora temos um sistema de equações algébricas em termos de [X(s)) e
:
Vamos resolver esse sistema para encontrar .
Passo 6
Primeiro, vamos resolver a segunda equação para
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Simplificando:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Passo 7
Resolvendo para
:
Vamos simplificar esses termos usando frações parciais.
Passo 8
Para
:
Aplicando frações parciais:
Resolvendo, encontramos:
E
Então:
Simplificando:
Passo 9
Agora, encontramos
. Vamos pegar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
:
Sabemos que:
Então:
Passo 10
Com
encontrado, vamos substituir de volta na expressão que tínhamos para
:
Sabendo que
, substituímos:
Passo 11
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
:
Usando as transformadas inversas conhecidas:
Então:
Resposta
As soluções do sistema são: