Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte sistema de equações diferenciais:
r 2 x^prime+y^prime-y=t x^prime+y^prime=t^2
onde x(0)=1, e y(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá duas equações com derivadas de x e y , e condições iniciais x(0) = 1 e y(0) = 0 . Para isso, vamos precisar conhecer a Transformada de Laplace e como aplicá-la em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada equação do sistema. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada, por exemplo, Lf'(s) = sF(s) - f(0) , onde F(s) é a transformada de f(t) .

Passo 3

Aplicando na primeira equação 2x' + y' - y = t :
2 Lx' + Ly' - Ly = Lt
Substituindo pelas transformadas:
2 (sX(s) - x(0)) + (sY(s) - y(0)) - Y(s) = 1s^2
Usando x(0) = 1 e y(0) = 0 :
2sX(s) - 2 + sY(s) - 0 - Y(s) = 1s^2
Simplificando:
2sX(s) + (s - 1)Y(s) = 2 + 1s^2

Passo 4

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na segunda equação x' + y' = t^2 :
Lx' + Ly' = Lt^2
Substituindo:
sX(s) - x(0) + sY(s) - y(0) = 2s^3
Com x(0) = 1 e y(0) = 0 :
sX(s) - 1 + sY(s) = 2s^3
Simplificando:
sX(s) + sY(s) = 1 + 2s^3

Passo 5

Agora temos um sistema de equações algébricas em termos de [X(s)) e :
Vamos resolver esse sistema para encontrar .

Passo 6

Primeiro, vamos resolver a segunda equação para X(s) :
sX(s) = 1 + 2s^3 - sY(s)
X(s) = 1s + 2s^4 - Y(s)
Agora, substituímos X(s) na primeira equação:
2s(1s + 2s^4 - Y(s)) + (s - 1)Y(s) = 2 + 1s^2
Simplificando:
2 + 4s^3 - 2sY(s) + sY(s) - Y(s) = 2 + 1s^2
2 + 4s^3 - (2s - s + 1)Y(s) = 2 + 1s^2
2 + 4s^3 - (s + 1)Y(s) = 2 + 1s^2
Subtraindo 2 de ambos os lados:
4s^3 - (s + 1)Y(s) = 1s^2

Passo 7

Resolvendo para Y(s) :
(s + 1)Y(s) = 4s^3 - 1s^2
Y(s) = 4s^3(s + 1) - 1s^2(s + 1)
Vamos simplificar esses termos usando frações parciais.

Passo 8

Para Y(s) :
Y(s) = 4s^3(s + 1) - 1s^2(s + 1)
Aplicando frações parciais:
4s^3(s + 1) = As + Bs^2 + Cs^3 + Ds + 1
Resolvendo, encontramos:
4s^3(s + 1) = -1s + -1s^2 + 4s^3 + 1s + 1
E
1s^2(s + 1) = 1s - 1s^2 + 1s + 1
Então:
Y(s) = (-1s - 1s^2 + 4s^3 + 1s + 1) - (1s - 1s^2 + 1s + 1)
Simplificando:
Y(s) = -2s + 0s^2 + 4s^3 + 0s + 1
Y(s) = -2s + 4s^3

Passo 9

Agora, encontramos Y(s) . Vamos pegar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar y(t) :
Y(s) = -2s + 4s^3
Sabemos que:
L^-11s = 1
L^-11s^3 = t^22
Então:
y(t) = -2 cdot 1 + 4 cdot t^22 = -2 + 2t^2

Passo 10

Com y(t) encontrado, vamos substituir de volta na expressão que tínhamos para X(s) :
X(s) = 1s + 2s^4 - Y(s)
Sabendo que Y(s) = -2s + 4s^3 , substituímos:
X(s) = 1s + 2s^4 - (-2s + 4s^3) = 3s - 4s^3 + 2s^4

Passo 11

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar x(t) :
X(s) = 3s - 4s^3 + 2s^4
Usando as transformadas inversas conhecidas:
L^-11s = 1, L^-11s^3 = t^22, L^-11s^4 = t^36
Então:
x(t) = 3 cdot 1 - 4 cdot t^22 + 2 cdot t^36 = 3 - 2t^2 + t^33

Resposta

As soluções do sistema são:
x(t) = 3 - 2t^2 + t^33
y(t) = -2 + 2t^2

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