classifique a equação como separável, linear, exata ou nenhuma destas. Observe que algumas equações podem ter mais de uma classificação.
theta d r+(3 r-theta-1) d theta=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificar a equação diferencial theta , dr + (3r - theta - 1) , dtheta = 0 como separável, linear, exata ou nenhuma dessas. Para fazer isso, vamos precisar entender cada uma dessas classificações e verificar quais delas se aplicam a essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma M(r, theta) , dr + N(r, theta) , dtheta = 0 é exata se partial Mpartial theta = partial Npartial r. Aqui, M = theta e N = 3r - theta - 1.
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial theta = 1
partial Npartial r = 3
Como 1 neq 3, a equação não é exata.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma drdtheta + P(theta) r = Q(theta) .
Rearranjando a equação dada:
theta , dr + (3r - theta - 1) , dtheta = 0
Dividindo ambos os lados por dtheta:
theta drdtheta + 3r - theta - 1 = 0
Isolando drdtheta:
drdtheta + 3theta r - 1 - 1theta = 0
drdtheta + 3theta r = 1 + 1theta
Isso está na forma linear, onde P(theta) = 3theta e Q(theta) = 1 + 1theta. Portanto, a equação é linear.

Passo 4

Por fim, vamos ver se a equação é separável. Uma equação é separável se pode ser escrita como f(r) , dr = g(theta) , dtheta.
Voltando à equação original:
theta , dr + (3r - theta - 1) , dtheta = 0
Tentando isolar dr e dtheta:
theta , dr = - (3r - theta - 1) , dtheta
dr3r - theta - 1 = - dthetatheta
Embora pareça possível separar as variáveis, a presença de r e theta misturados na expressão dificulta uma separação simples. Portanto, a equação não é separável.

Resposta

A equação é linear.

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