classifique a equação como separável, linear, exata ou nenhuma destas. Observe que algumas equações podem ter mais de uma classificação.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação diferencial e precisa classificá-la como separável, linear, exata ou nenhuma dessas. Às vezes, uma equação pode se encaixar em mais de uma categoria. Para isso, vamos precisar entender cada uma dessas classificações e aplicar os testes correspondentes na nossa equação:
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma M dx + N dy = 0 é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Agora, vamos conferir se a equação é separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever na forma
, ou seja, as variáveis estão separadas. Observando a nossa equação:
Aqui, os termos
e
envolvem ambas as variáveis
e
, o que impede a separação das variáveis. Portanto, a equação não é separável.
Passo 4
Vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma
. Vamos rearranjar a nossa equação para a forma
:
Isolando
:
A presença do termo
no numerador torna a equação não linear, já que ela envolve produtos de
com funções de
e
.
Resposta
A equação dada é exata.