classifique a equação como separável, linear, exata ou nenhuma destas. Observe que algumas equações podem ter mais de uma classificação.
[2 x+y cos (x y)] d x+[x cos (x y)-2 y] d y=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação diferencial e precisa classificá-la como separável, linear, exata ou nenhuma dessas. Às vezes, uma equação pode se encaixar em mais de uma categoria. Para isso, vamos precisar entender cada uma dessas classificações e aplicar os testes correspondentes na nossa equação:
[2 x + y cos (x y)] , dx + [x cos (x y) - 2 y] , dy = 0

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma M dx + N dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x . Vamos calcular:
  • M = 2x + y cos(x y)
  • N = x cos(x y) - 2y
Agora, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y (2x + y cos(x y)) = cos(x y) - x y sin(x y)
partial Npartial x = partialpartial x (x cos(x y) - 2y) = cos(x y) - x y sin(x y)
Como partial Mpartial y = partial Npartial x , a equação é exata.

Passo 3

Agora, vamos conferir se a equação é separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever na forma f(x) dx + g(y) dy = 0 , ou seja, as variáveis estão separadas. Observando a nossa equação:
[2 x + y cos (x y)] , dx + [x cos (x y) - 2 y] , dy = 0
Aqui, os termos y cos(x y) e x cos(x y) envolvem ambas as variáveis x e y , o que impede a separação das variáveis. Portanto, a equação não é separável.

Passo 4

Vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma dydx + P(x) y = Q(x) . Vamos rearranjar a nossa equação para a forma dydx :
[2x + y cos(x y)] + [x cos(x y) - 2 y] dydx = 0
Isolando dydx :
dydx = -2x + y cos(x y)x cos(x y) - 2 y
A presença do termo y cos(x y) no numerador torna a equação não linear, já que ela envolve produtos de y com funções de x e y .

Resposta

A equação dada é exata.

Exercícios relacionados