determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
(2 x y+3) d x+(x^2-1) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
(2xy+3),dx + (x^2-1),dy = 0
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas, cuja ideia central é achar uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = M(x,y) e partial phipartial y = N(x,y),
onde M(x,y)=2xy+3 e N(x,y)=x^2-1.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão, comparando
partial Mpartial y e partial Npartial x
Como
partial Mpartial y = partialpartial y(2xy+3) = 2x, partial Npartial x = partialpartial x(x^2-1) = 2x,
temos partial M/partial y = partial N/partial x, logo a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe phi(x,y) tal que phix = M. Integramos M em relação a x:
phi(x,y) = integral (2xy+3),dx = x^2y + 3x + h(y),
onde h(y) é uma função de y só, ainda indefinida.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos phiy = N. Calculando
partial phipartial y = x^2 + h'(y)
e igualando a N(x,y)=x^2-1 temos
x^2 + h'(y) = x^2 - 1 Longrightarrow h'(y) = -1 Longrightarrow h(y) = -y

Passo 5

Substituindo h(y) = -y em phi, obtemos a função potencial
phi(x,y) = x^2y + 3x - y
A solução geral implícita da equação diferencial é
phi(x,y) = C,
ou seja
x^2y + 3x - y = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^2y + 3x - y = C

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