Determine o raio e o intervalo de convergencia de cada série abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o raio e o intervalo de convergência da série
. Aqui estamos trabalhando com séries de potências, um tópico importante no estudo de séries numéricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o raio de convergência e verificar para quais valores de
a série realmente converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a análise. A série dada é:
Podemos notar que isso se parece com uma série geométrica, que tem a forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Para uma série geométrica
convergir, a razão
precisa satisfazer
. Então, no nosso caso:
Isso nos dá o raio de convergência
, que é 1.
Passo 4
Agora, precisamos verificar o intervalo de convergência, ou seja, os valores de
para os quais a série converge. Sabemos que
, então inicialmente temos o intervalo
. Porém, precisamos testar os pontos finais
e
para ver se a série converge nesses pontos.
- Para
:
Isso é uma série alternada que não converge, pois os termos não tendem a zero.
- Para
:
Isso é uma série constante que também não converge.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.