Determine o raio e o intervalo de convergencia de cada série abaixo:
sumn=0^infty(-1)^n+1 x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o raio e o intervalo de convergência da série sumn=0^infty(-1)^n+1 x^n. Aqui estamos trabalhando com séries de potências, um tópico importante no estudo de séries numéricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o raio de convergência e verificar para quais valores de x a série realmente converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a análise. A série dada é:
sumn=0^infty (-1)^n+1 x^n
Podemos notar que isso se parece com uma série geométrica, que tem a forma sumn=0^infty ar^n, onde a é o primeiro termo e r é a razão. No nosso caso, a = (-1)^1x^0 = -1 e r = -x.

Passo 3

Para uma série geométrica sumn=0^infty ar^n convergir, a razão r precisa satisfazer |r| < 1. Então, no nosso caso:
| -x | < 1 implies |x| < 1
Isso nos dá o raio de convergência R, que é 1.

Passo 4

Agora, precisamos verificar o intervalo de convergência, ou seja, os valores de x para os quais a série converge. Sabemos que |x| < 1, então inicialmente temos o intervalo (-1, 1). Porém, precisamos testar os pontos finais x = -1 e x = 1 para ver se a série converge nesses pontos.
  • Para x = 1:
sumn=0^infty (-1)^n+1 (1)^n = sumn=0^infty (-1)^n+1
Isso é uma série alternada que não converge, pois os termos não tendem a zero.
  • Para x = -1:
sumn=0^infty (-1)^n+1 (-1)^n = sumn=0^infty (-1)^2n+1 = sumn=0^infty (-1) = -1 + (-1) + (-1) + dots
Isso é uma série constante que também não converge.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é -1 < x < 1.

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