Classifique as equações abaixo, determinando o tipo, a ordem e dizendo se elas são lineares ou não lineares.
x^{2} \frac{\dot{d}^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+2 y=\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x^{2}\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} \;+\; x\,\frac{dy}{dx} \;+\; 2\,y \;=\;\sin x
e pede para classificá-la quanto ao tipo, à ordem e à linearidade.

Passo 2

Tipo: só aparecem derivadas de y em relação a uma única variável x, ou seja, é uma equação diferencial ordinária (EDO).

Passo 3

Ordem: o maior expoente de derivada de y é \frac{d^{2}y}{dx^{2}}, logo é de segunda ordem.

Passo 4

Linearidade: na parte esquerda cada termo envolve y, \frac{dy}{dx} ou \frac{d^{2}y}{dx^{2}} multiplicado por função de x, sem produtos entre y e suas derivadas nem potências de y. Portanto é linear. Como há um termo \sin x no lado direito, trata-se de uma EDO linear não homogênea com coeficientes variáveis.

Resposta

É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear não homogênea, com coeficientes variáveis.

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