Mostre que, se R for uma região no plano limitada por uma curva C fechada, simples e lisa por partes, então
\text { Área de } R=\oint_{C} x d y=-\oint_{C} y d xÁ

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se R\subset\mathbb{R}^2 for uma região limitada por uma curva fechada, simples e lisa por partes C, então
\text{Área}(R)=\oint_{C}x\,dy=-\oint_{C}y\,dx.Á
Para isso vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre R.

Passo 2

O Teorema de Green afirma que, para funções P(x,y) e Q(x,y) com derivadas contínuas em uma vizinhança de R,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy \;=\;\iint_{R}\Bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 3

Escolhendo P=0 e Q=x no Teorema de Green, obtemos
\oint_{C}x\,dy \;=\;\iint_{R}\Bigl(\tfrac{\partial}{\partial x}(x)-\tfrac{\partial}{\partial y}(0)\Bigr)\,dA \;=\;\iint_{R}1\,dA \;=\;\text{Área}(R).Á

Passo 4

Escolhendo P=-y e Q=0 no Teorema de Green, obtemos
\oint_{C}-y\,dx \;=\;\iint_{R}\Bigl(\tfrac{\partial}{\partial x}(0)-\tfrac{\partial}{\partial y}(-y)\Bigr)\,dA \;=\;\iint_{R}1\,dA \;=\;\text{Área}(R),Á
ou seja
-\oint_{C}y\,dx=\text{Área}(R).Á

Resposta

Como desejado,
\text{Área}(R)=\oint_{C}x\,dy=-\oint_{C}y\,dx.Á

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