Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas:
f(x)=-x^{2}+4 x e g(x)=x^{2}

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x) = -x^{2} + 4x
e
g(x) = x^{2}
e pede a área da região limitada por elas. O conteúdo é cálculo de área entre curvas via integral definida: primeiro achamos os pontos de interseção, depois integramos a diferença entre a função de cima e a de baixo.

Passo 2

Para achar os pontos onde as curvas se cruzam, resolvemos
f(x) = g(x)
ou seja
-x^{2} + 4x = x^{2}
-2x^{2} + 4x = 0
-2x(x - 2) = 0
Logo as interseções são em x = 0 e x = 2.

Passo 3

Precisamos saber qual função está acima no intervalo [0,2]. Para x=1,
f(1) = -1 + 4 = 3, \quad g(1) = 1,
logo f(x) fica acima de g(x) em todo [0,2].

Passo 4

A área procurada é
A = \int_{0}^{2} \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx = \int_{0}^{2} \bigl((-x^{2}+4x) - x^{2}\bigr)\,dx = \int_{0}^{2} \bigl(-2x^{2} + 4x\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral: uma antiderivada de -2x^{2} + 4x é
-2 \cdot \frac{x^{3}}{3} + 4 \cdot \frac{x^{2}}{2} = -\frac{2x^{3}}{3} + 2x^{2}.
Avaliando de 0 a 2:
\left(-\frac{2\cdot 2^{3}}{3} + 2\cdot 2^{2}\right) - \left(-\frac{2\cdot 0^{3}}{3} + 2\cdot 0^{2}\right) = \Bigl(-\frac{16}{3} + 8\Bigr) - 0 = \frac{-16 + 24}{3} = \frac{8}{3}.

Resposta

A área da região é \tfrac{8}{3}.

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