Classifique as equações abaixo como exata, separável, linear ou nenhuma delas. Justifique.
(d) y^{\prime}+\frac{2}{x} y=x^{3}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação de primeira ordem
y' + \frac{2}{x}\,y = x^{3}
entre as categorias exata, separável, linear ou nenhuma delas. O conteúdo envolvido é reconhecimento das formas padrão de EDOs de primeira ordem.

Passo 2

Verificando se é separável: escrevemos
\frac{dy}{dx} = x^{3} - \frac{2}{x}\,y.
Para ser separável, precisaríamos escrever \frac{dy}{dx} = f(x)\,g(y). Aqui há soma de termos em x e em y, e não dá para fatorar em f(x)\,g(y). Logo, não é separável.

Passo 3

Verificando se é exata: reescrevemos em forma diferencial
dy + \Bigl(\frac{2}{x}\,y - x^{3}\Bigr)\,dx = 0,
ou seja M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 com
M(x,y) = \frac{2}{x}\,y - x^{3}, \quad N(x,y) = 1.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{2}{x},
\frac{\partial N}{\partial x} = 0.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, não é exata.

Passo 4

Verificando se é linear: a equação já está na forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
com P(x)=\tfrac{2}{x} e Q(x)=x^{3}. Isso caracteriza uma EDO linear de primeira ordem.

Resposta

A equação é linear.

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