Classifique as equações abaixo como exata, separável, linear ou nenhuma delas. Justifique.
(c) y^{\prime}=\frac{x^{2}}{1+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede classificar a equação
\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{1+y^2}
como exata, separável, linear ou nenhuma delas. Vamos testar, nesta ordem, separabilidade, linearidade e exatidão.

Passo 2

Para verificar separabilidade, reescrevemos
\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{1+y^2}
como
(1+y^2)\,dy = x^2\,dx.
Aqui temos uma função de y multiplicando dy e uma função de x multiplicando dx, o que mostra que a equação é separável.

Passo 3

Uma EDO de primeira ordem é linear se puder ser posta na forma
\frac{dy}{dx} + p(x)\,y = q(x).
Na equação dada, y aparece em 1+y^2, de modo não linear. Portanto, não é linear.

Passo 4

Para testar exatidão, escrevemos em forma diferencial
-\frac{x^2}{1+y^2}\,dx + 1\,dy = 0,
onde
M(x,y) = -\frac{x^2}{1+y^2},\quad N(x,y) = 1.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{2x^2y}{(1+y^2)^2}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=0,
logo \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, de modo que não é exata.

Resposta

A equação é separável.

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