Resolva as seguintes equações diferenciais:
(b) \left(3 x^{2}+2 y\right)+(2 x+2 y) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(3x^{2}+2y\bigr) \;+\;\bigl(2x+2y\bigr)\,y' \;=\;0.
O método adequado aqui é verificar se a equação é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que dF=0.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma
M(x,y)\,dx \;+\;N(x,y)\,dy \;=\;0,
onde
M(x,y)=3x^{2}+2y, \quad N(x,y)=2x+2y.
Calculamos agora as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=2, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2.

Passo 3

Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata. Logo existe F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=M \quad\text{e}\quad \frac{\partial F}{\partial y}=N.

Passo 4

Integramos M em relação a x:
F(x,y)=\int\bigl(3x^{2}+2y\bigr)\,dx =x^{3}+2x\,y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Impondo \partial F/\partial y=N, temos
\frac{\partial F}{\partial y} =2x + h'(y) \;=\;2x+2y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=2y \;\Longrightarrow\; h(y)=y^{2}.
Logo
F(x,y)=x^{3}+2x\,y+y^{2}.

Resposta

A solução geral da equação é dada implicitamente por
x^{3}+2x\,y+y^{2}=C,
onde C é constante arbitrária.

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