Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI), e determine o intervalo máximo de solução para este PVI.
y^{\prime}+2 y=e^{-x}, \quad y(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y' + 2y = e^{-x},\qquad y(0)=3
Este é um EDO linear de 1ª ordem. Vamos usar o fator integrante para obter a solução geral e depois aplicar a condição inicial. Em seguida, determinamos o intervalo máximo onde a solução existe e é única.

Passo 2

Para um EDO da forma
y' + p(x)\,y = q(x)
o fator integrante é
\mu(x) = e^{\displaystyle \int p(x)\,dx}.
Aqui p(x)=2, então
\mu(x) = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x):
e^{2x}y' + 2e^{2x}y = e^{2x}e^{-x} = e^{x}.
O lado esquerdo é a derivada de e^{2x}y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr) = e^{2x}y' + 2e^{2x}y.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr) = e^{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{2x}y = \int e^{x}\,dx = e^{x} + C,
de onde surge a solução geral
y(x) = e^{-x} + C\,e^{-2x}.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=3:
y(0) = e^{0} + C\,e^{0} = 1 + C = 3 \;\Longrightarrow\; C = 2.
Portanto a solução particular é
y(x) = e^{-x} + 2\,e^{-2x}.

Passo 6

As funções p(x)=2 e q(x)=e^{-x} são contínuas para todo x\in\mathbb{R}. Pelo teorema de existência e unicidade, a solução existe e é única em todo \mathbb{R}.

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = e^{-x} + 2\,e^{-2x},
e o intervalo máximo de existência é (-\infty,\infty).

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