Classifique as equações abaixo:
t^{2} y^{\prime \prime}+t y^{\prime}+2 y=\sin t

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
t^2 y'' + t y' + 2y = \sin t.
Vamos identificar ordem, linearidade, homogeneidade, tipo de coeficientes e autonomia.

Passo 2

Analisando a ordem, o maior índice de derivada presente é y'', logo trata-se de uma equação de ordem 2.

Passo 3

Para verificar a linearidade, observamos que y'', y' e y aparecem apenas multiplicados por funções de t, sem termos como (y')^2 ou y\cdot y'. Portanto é linear.

Passo 4

No lado direito aparece o termo \sin t, que é independente de y, indicando que a equação é não homogênea.

Passo 5

Os coeficientes de y'',y' e y são t^2, t e 2, funções de t, ou seja, variáveis. Além disso, a forma t^2y''+ty'+2y caracteriza uma equação de Euler-Cauchy.

Passo 6

Como há dependência explícita em t nos coeficientes e no termo fonte \sin t, a equação não é autônoma.

Resposta

Ordem: 2 (segunda ordem).
Linearidade: linear.
Homogeneidade: não homogênea.
Coeficientes: variáveis.
Tipo: equação de Euler-Cauchy.
Autonomia: não autônoma.

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