Classifique as equações abaixo:
y^{\prime \prime \prime}(t)+t\left(y^{\prime}\right)^{2}+\left(\cos ^{2} y\right) y=t^{3}

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
y'''(t) + t\bigl(y'(t)\bigr)^{2} + \bigl(\cos^{2}y(t)\bigr)\,y(t) = t^{3},
e pede sua classificação em termos de ordem, tipo (ordinária ou parcial), linearidade, homogeneidade e autonomia.

Passo 2

Para determinar a ordem da equação, observamos o maior índice de derivada de y. Aqui aparece y'''(t), que é a terceira derivada.
Logo, a ordem é 3.

Passo 3

Para verificar se a equação é linear, examinamos se y e suas derivadas aparecem apenas com coeficientes que dependem de t e nunca são multiplicados entre si nem compostos por funções não lineares de y.
Nesta equação há o termo \bigl(y'(t)\bigr)^{2} e também \cos^{2}y(t)\cdot y(t). Esses termos mostram produtos e funções não lineares de y e y'.
Portanto, a equação é não linear.

Passo 4

Uma equação linear pode ainda ser classificada em homogênea ou não homogênea olhando se existe um termo “forçamento” separado de todas as expressões envolvendo y e suas derivadas.
Apesar de a noção de homogeneidade se aplicar melhor a equações lineares, aqui vemos à direita o termo t^{3}, que é independente de y.
Logo, podemos dizer que há um termo não homogêneo (forçamento) t^{3}.

Passo 5

Para saber se a equação é autônoma, verificamos se t aparece explicitamente nos coeficientes ou no termo de forçamento.
Temos o fator t no termo t\bigl(y'\bigr)^{2} e o forçamento t^{3}.
Portanto, a equação é não autônoma.

Passo 6

Finalmente, por envolver derivadas em relação a uma única variável independente t, trata-se de uma equação diferencial ordinária (e não parcial).

Resposta

Ordem 3; equação diferencial ordinária; não linear; não homogênea; não autônoma.

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