Questão 03 (Valor 2.0): Encontre equações vetorial e paramétricas da reta que contém o ponto A=(1,-1,1) e é paralela à reta s: \frac{1 \theta}{5}=\frac{3 y}{6}=\frac{z+3}{6}.

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial e as equações paramétricas da reta que passa por A=(1,-1,1) e é paralela à reta
s:\frac{x-1}{5}=\frac{y-3}{6}=\frac{z+3}{6}.
O conteúdo aqui é representação de reta no espaço em forma simétrica, vetorial e paramétrica. Precisamos extrair o vetor diretor de s e usar o ponto A para montar as equações.

Passo 2

Na forma simétrica
\frac{x-1}{5}=\frac{y-3}{6}=\frac{z+3}{6},
cada denominador dá uma componente do vetor diretor de s. Logo, o vetor diretor é
\vec u = \langle 5,6,6\rangle.

Passo 3

Como a reta que queremos é paralela a s e passa por A, sua equação vetorial é
\vec r = \langle 1,-1,1\rangle + t\,\langle 5,6,6\rangle,
onde t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Da equação vetorial obtemos as equações paramétricas separando as componentes:
\begin{cases} x = 1 + 5t,\\\ y = -1 + 6t,\\\ z = 1 + 6t. \end{cases}

Resposta

Equação vetorial:
\vec r = \langle 1,-1,1\rangle + t\,\langle 5,6,6\rangle.
Equações paramétricas:
x = 1 + 5t,\quad y = -1 + 6t,\quad z = 1 + 6t,\quad t\in\mathbb{R}.

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