Questão 04 (Valor 2.0):
Sabendo que ||\vec{u}||=\sqrt{3},||\vec{v}||=2 \sqrt{5} e que 30^{\circ} é a medida do angulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v}, determine \vec{u} \cdot \vec{v}

Passo 1

O enunciado pede o produto escalar de dois vetores \vec{u} e \vec{v} sabendo que \|\vec{u}\|=\sqrt{3}, \|\vec{v}\|=2\sqrt{5} e que o ângulo entre eles é 30^\circ. O conteúdo aqui é o produto escalar em termos de magnitudes e cosseno do ângulo.

Passo 2

A fórmula do produto escalar usando magnitudes e cosseno é
\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\theta.

Passo 3

Substituindo \|\vec{u}\|=\sqrt{3}, \|\vec{v}\|=2\sqrt{5} e \theta=30^\circ, e sabendo que \cos(30^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
\vec{u}\cdot\vec{v} = \sqrt{3}\,\bigl(2\sqrt{5}\bigr)\,\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{15}\,\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{45}.

Passo 4

Para simplificar \sqrt{45}, observe que 45=9\cdot5, logo
\sqrt{45} = \sqrt{9\cdot5} = 3\sqrt{5}.

Resposta

3\sqrt{5}

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