Resolva as equações de Bernoulli:
\frac{d y}{d x}=y+e^{-2 x} y^{4}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = y + e^{-2x}y^{4},
que é uma equação de Bernoulli do tipo
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
com P(x)=-1, Q(x)=e^{-2x} e n=4. Para resolver, usaremos a substituição padrão para Bernoulli:
u = y^{1-n}=y^{-3}.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma
\frac{dy}{dx}-y = e^{-2x}y^{4}
e lembramos que
u = y^{-3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = -3\,y^{-4}\,\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Substituímos \frac{dy}{dx} na expressão de \frac{du}{dx}:
\frac{du}{dx} = -3\,y^{-4}\bigl(y+e^{-2x}y^{4}\bigr) = -3\bigl(y^{-3}+e^{-2x}\bigr) = -3\,u \;-\;3\,e^{-2x}.
Logo a equação em u fica
\frac{du}{dx} + 3\,u = -3\,e^{-2x}.

Passo 4

Trata-se agora de uma equação linear de primeira ordem para u. O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int 3\,dx}=e^{3x}.
Multiplicando a equação por \mu(x):
e^{3x}\frac{du}{dx} + 3\,e^{3x}u = \frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}u\bigr) = -3\,e^{3x}\,e^{-2x} = -3\,e^{x}.

Passo 5

Integramos em x:
e^{3x}u = \int -3\,e^{x}\,dx = -3\,e^{x} + C,
onde C é a constante de integração. Portanto
u = -3\,e^{x}\,e^{-3x} + C\,e^{-3x} = -3\,e^{-2x} + C\,e^{-3x}.

Passo 6

Voltando à variável original, u=y^{-3}, obtemos
y^{-3} = C\,e^{-3x} - 3\,e^{-2x} \quad\Longrightarrow\quad y^{3} = \frac{1}{C\,e^{-3x} - 3\,e^{-2x}} = \frac{e^{3x}}{C - 3\,e^{x}}.
Logo
y(x) = \biggl(\frac{e^{3x}}{C - 3\,e^{x}}\biggr)^{\!1/3} = e^{x}\,\bigl(C - 3\,e^{x}\bigr)^{-\!1/3}.

Resposta

\boxed{y(x) = e^{x}\,\bigl(C - 3\,e^{x}\bigr)^{-\!1/3},}
em que C é constante arbitrária.

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